斐波那契数列（特征方程， 通项公式， 公约数）

1、求特征方程

设有数列 c[n] = a * c[n - 1] + b * c[n - 2], 假设存在 x, y 满足下式
c[n]-x*c[n - 1] = y*(c[n - 1] - x*c[n - 2])
变形得
c[n] = (x + y) * c[n - 1] -xy * c[n - 2]
则对于斐波那契数列则有
\begin{eqnarray*} x + y &=& 1 \\ -xy&=&1 \end{eqnarray*}

消去 y 得 x^2=x+1

有根
X_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}

所以存在 A, B 使
c[n] = A \times \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) ^{n} - B \times \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) ^{n}
代入c[0] = 0, c[1] = 1,得
A = \frac{\sqrt{5}}{5}, B = - \frac{\sqrt{5}}{5}
即通项公式为
c[n] = \frac{\sqrt{5}}{5} \times \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) ^ {n} - \frac{\sqrt{5}}{5} \times \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) ^ {n}

Tips

这公式一般不用再程序题中， 因为有无理数无法保证精度

2、公约数

gcd(F[n], F[m]) = F[gcd(n, m)]

证明：

设n < m, F[n] = a, F[n + 1] = b,则有
\begin{eqnarray*} F[n + 2] &=& a + b \\ F[n + 3] &=& a + 2b \\ F[n + 4] &=& 2a + 3b\\ F[n + 5] &=& 3a + 5b\\ \cdots &=& \cdots \end{eqnarray*}
则有
F[m] = F[m-n-1] \times F[n] + F[m-n] \times F[n+1]

gcd(F[n],F[m]) = gcd(F[n], F[m - n -1] \times F[n] + F[m - n] \times F[n + 1] )

化简则有
gcd(F[n], F[m]) = gcd(F[n], F[m - n] \times F[n + 1] )
由于
gcd(F[n], F[n + 1]) = 1
可得
gcd(F[n], F[m]) = gcd(F[n], F[m - n])
即
gcd(F[n], F[m]) = gcd(F[n], F[m \mod n])

令
m1 = m\mod n

有
gcd(F[n], F[m]) = gcd(F[n \mod m1], F[m1])
一直递归可得
gcd(F[n], F[m]) = gcd(F[gcd(n, m)], 0)
所以有
gcd(F[n], F[m]) = F[gcd(n, m)]

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