动态规划之完全背包问题

背包问题是动态规划中的经典题型之一,需要反复咀嚼,感受它的魅力。本文以LeetCode 512 零钱兑换II为例进行讲解:


image.png

思路

  1. 对于动态规划类题目首先要分析题目中有哪几种状态选择。以零钱兑换II为例,状态有两种:硬币面值种类和金额大小。选择也有两种:当前的硬币是否“放入”金额这个容器内(放或者不放)。
  2. 然后确定dp数组的含义,这一步至关重要,不同的含义会导致后面的操作完全不一样。本题是计算用所给不同面值的硬币凑成当前金额的方式有多少种,所以dp数组定义为在使用前i种面值的硬币时,总共有多少种方式可以凑出当前金额j
    每当“物品”要放入到“金额”这个口袋中时,有两种情况:
  • 当口袋的剩余容量不小于物品的重量(硬币的价值),有两种操作方式:选择放入或者选择不放入。
  • 当口袋的剩余容量小于物品的重量(隐蔽的价值),此时只能选择不放入。
    根据以上两种情况,可以写出相关的伪代码:
if (j > coins[i])
    选择将当前面值的硬币放入金额口袋
    或者
    选择不将当前面值的硬币放入金额口袋
else
    只有一种选择,不将当前面值的硬币放入金额口袋
  1. 思考状态转移
  • 将第i种硬币放入剩余容量为j的口袋内时,此时的结果取决于第i种硬币放入剩余容量为j-coins[i]的口袋内的组合数,即dp[i][j] = dp[i][j-coins[i]]
  • 不将第i种硬币放入剩余容量为j的口袋内时,此时的结果取决于上一种(i-1)硬币放入剩余容量为j的口袋内的组合数,即dp[i][j] = dp[i-1][j]
  • 当前口袋容量j不小于当前硬币面值时,有两种可能的操作,所以此时的dp[i][j] = dp[i][j-coins[i]] + dp[i-1][j]
  • 当前口袋容量j小于当前硬币面值时,只能有一种“不放回”操作,所以此时的dp[i][j] = dp[i-1][j]
  1. 边界条件
    一般情况下,状态有几种就需要考虑几种边界条件。当硬币面值的种类数为0时,对于任意非0金额口袋肯定是装不满的。当金额口袋容量为0时,我们不需要任何操作就相当于装满了这个口袋。
##边界条件
for (int i=0; i<=n; i++)
  dp[i][0] = 1;
for (int i =0; i<=amount; i++)
  dp[0][i] = 0;
  1. 编写代码
int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int n = coins.size();
        if (amount == 0 && n == 0) return 1;
        vector<vector<int>>dp(n+1, vector<int>(amount+1));
        for (int i=0; i<n+1; i++)
            dp[i][0] = 1;
        //vector自动初始化为0,所以这里不再需要重复赋值来晚上边界条件
        // for (int i=0; i<=amount; i++)
        //     dp[0][i] = 0;
        for (int i=1; i<n+1; i++){
            for (int j=1; j<=amount; j++){
                if (j - coins[i-1] >=0)
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-coins[i-1]];
                else
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
        return dp[n][amount];

    }
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 204,053评论 6 478
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 85,527评论 2 381
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 150,779评论 0 337
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 54,685评论 1 276
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 63,699评论 5 366
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 48,609评论 1 281
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 37,989评论 3 396
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 36,654评论 0 258
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 40,890评论 1 298
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 35,634评论 2 321
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 37,716评论 1 330
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 33,394评论 4 319
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 38,976评论 3 307
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 29,950评论 0 19
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 31,191评论 1 260
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 44,849评论 2 349
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 42,458评论 2 342