这之前，先有完全四边形的定义：
完全四边形
平面上有不共线的四个点，过这四点的六条直线构成完全四边形。
完全四边形
然后，定义
顶点：
最初给定的四点。图中A,B,C,D.
对边：
不过同一个顶点的边。
AB与CD是一组对边。
BC与 AD是一组对边。
AC与BD是一组对边。
共三组对边。
对角点：
对边的交点叫对角点。
对角点
上图，图中标记为E,F,G的点，为对角点。
一共有三组对边，每组形成一个对角点，所以，有三个对角点。（平行的对边，设对角点在无穷远处。)
对角线：
连接对角点的直线。
对角线
上图，红黄蓝三线，是对角线。
于是，连同对角线和边在一起，从[对角点]发出的线束是调和线束。
调和线束
如图，从E发出的直线是调和线束，直线AD与之相交，这表示，在直线 AD上,HF两点调和分割AD.
这是什么意思呢？就是说AD是AH和AF的调和平均。
下面证明之。
欲证明上式，转证
再转证：
再转：
即需证明：
方程两边乘以AD，转证：
等式一
EH截三角形ABD
EH截三角形ABD，由梅涅劳斯定理，有：
等式甲
ED截三角形ABF,有
ED截三角形ABF
等式乙
同理，由AC截三角形BDF，有
等式丙
三个等式列在一起：
等式甲
等式乙
等式丙
相乘，最后得到：
等式丁
通过调整，等式丁与等式一是一样的。
就是：
交比
得到的结果就是交比为-1.这同等式一是一致的。
所谓交比，就是比之比。
交比为-1,就是调和分割的定义。
调和分割，就是指第三点到第一点的距离和第四点到第一点的距离，这两个距离有调和平均值，该均值等于第一点与第二点的距离。这个时候说，第三点和第四点调和分割第一点和第二点。
同时，第一点和第二点也调和分割第三四点。
以上，只是笛沙格对合定理的特例。
笛沙格对合定理
下面才是完整的对合定理推导，过程类似
直线DA截三角形CX'Y'，有
直线AB截三角形CY'Z'，有
直线BD截三角形CZ'X'，有
三式相乘，化简，得
即：
两边乘以XX'和-X'X
即交比
这些也非全部的笛沙格对合定理。笛沙格对合定理比这更复杂。暂时讨论到这里。
