代数的射影几何学
代数几何学家也在发展射影几何学，最早出现的新代数概念是现在所说的齐次坐标，莫比乌斯(August Ferdinand Möbius,1790-1868)建立了一个方案，他跟高斯、哈密尔顿一样搞天文和数学，虽然没参与综合法和代数法之争，但是在代数方面做了贡献。
他从一个固定的三角形出发，对平面内任一点P，考虑在三角形三个顶点上各放多少质量能使三个质量的重心在点P，就取这三个量为P的坐标。当P在三角形外时部分坐标可以为负的。当三个质量乘以同一个常数时P仍为质心。所以在莫比乌斯的方案中，点的坐标不唯一，而三个坐标之比是确定的。用于空间点时需要四个坐标，在这个坐标系里写的曲线和曲面方程是齐次的（各项次数相同）。
莫比乌斯把从平面到平面或空间到空间的变换分类，如果对应的图形相等，变换是迭合变换，如果对应的图形相似，变换是相似变换。如果保持平行性但不保持长度和形状，变换是仿射变换（欧拉引入的概念），最普遍的变换是直线到直线的变换，称为直射变换。莫比乌斯证明每个直射变换是一个射影变换，即能从一连串透视变换得出，该证明假定变换是一对一且连续的，但连续性条件能减弱。莫比乌斯给出这种交换的一种解析表达式，他指出可以在上述每一类型变换下考虑图形的不变性质。
莫比乌斯对面积和体积也引入了带正负号的元素，因此对同一线上四点的带正负号的交比给出了完善处理。他指出下图线束中四条线的交比可以用顶点P处各角的正弦表示为：该比值与任何斜截线所截四点A,B,C,D的交比相同，所以交比在投影与截影下不改变。
莫比乌斯还缓慢地发展了其它概念，但没有明显进展。
普吕克(Julius Plücker,1801-1868)赋予代数射影几何活力和效率。1836年起他在波恩当数学与物理教授，他主要是一个实验物理学家，有许多著名发现，1863年后他重新投身于数学。
普吕克也引入了齐次坐标，他的第一个概念是三线坐标，从一个固定三角形出发，任一点P的坐标取P到三角形各边带正负号的垂直距离，各距离可以乘以同一个常数，后来他引入一种特殊情况，相当于把三角形一条边看成无穷远直线，等价于把通常的笛卡尔坐标x,y换成x=x1/x3和y=x2/x3，变换后曲线方程对x1,x2,x3齐次，这个概念后来得到了广泛使用。
普吕克利用齐次坐标和关于齐次函数的欧拉定理，若f(tx1,tx2,tx3)=t''f(x1,x2,x3)则，给几何概念以优美的代数表示，例如若f(x1,x2,x3)=0是一个圆锥曲线的方程，其中(x1,x2,x3)是圆锥曲线上点的坐标，那么方程
，把x1',x2',x3'看成流动坐标时，可以解释为点(x1,x2,x3)处的切线方程，当把x1,x2,x3看成流动坐标时，可以解释为任意点(x1',x2',x3')相对于该圆锥曲线的极线方程。
利用齐次坐标，普吕克给出无穷远线、圆上无穷远点和其它概念的代数表示。在齐次坐标系(x1,x2,x3)中，无穷远线的方程是x3=0，在射影几何里没毛病，而欧几里得平面的寻常点落在有穷处，因为x=x1/x3,y=x2/x3，不得不令无穷远点x3=0。
通过x=x1/x3,y=x2/x3引入齐次笛卡尔坐标x1,x2,x3后，圆的方程变成
，由于无穷远线的方程是x3=0，这条线与圆的交点由
确定，圆上无穷远点的坐标是(1,i,0)和(1,-i,0)，类似地，球上无穷远圆的方程是
。
如果把直线方程写成齐次形式（用x,y,z代替x1,x2,x3）Ax+By+Cz=0，并且要求直线过点(x1,y1,z1)和(1,i,0)，则该线的非齐次方程是x-x0+i(y-y0)=0，其中x0=x1/z1,y0=y1/z1。同样，通过(x1,y1,z1)和(1,-i,0)的线的方程是x-x0-i(y-y0)=0。索菲斯·李(Marius Sophus Lie)称之为飘渺线，现在称为迷向线。
普吕克从代数上处理偶性后得到了一个漂亮的概念：线坐标。如果一条直线在齐次坐标中的方程是ux+vy+wz=0，u,v,w或与它们成比例的三个数就是这条线的坐标。于是像正象限f(x1,x2,x3)=0表示一些点的集体，f(u,v,w)=0表示一些线的集体或一个线曲线。
普吕克利用线坐标给对偶原理一个代数表述和证明，给定任一方程f(r,s,t)=0，如果把r,s,t解释为点的齐次坐标x1,x2,x3，就能得到一个点曲线方程，如果把它们解释为u,v,w，就得到对偶的线曲线，用代数过程证明的关于点曲线的任何一个性质都能引出线曲线的对偶性，因为在变量的两种解释下，代数是相同的。
1830年普吕克还指出，看作点集合的曲线同时也能看成曲线切线的集合，因为切线也像点一样确定了曲线形状。切线族是一条线曲线，在线坐标中有一个方程，这个方程的次数称为曲线的类数，而曲线在点坐标中的方程次数叫做曲线的阶数。
