OpenGL之向量、矩阵介绍

GLTools库中有一个组件叫Math3d，其中包含了大量好用的OpenGL一致的3D数学和数据类型。虽然我们不必亲自进行所有矩阵和向量的操作，但是我们得知道它们是什么以及如何运用它们。
像我们开发中用到的图形变换，就涉及到了矩阵/向量的计算。例如CAAnimation实现的仿射变换，就用到了OpenGL渲染技术。

向量

在3D笛卡尔坐标系里，一个顶点就是xyz坐标空间里的一个位置。而在空间中给定的一个位置，恰恰是有一个单独的xyz定义的，这就是向量。数学思维里，一个顶点就是一个向量。

单位向量

例如在X轴上的向量（1,0,0），其长度为1，我们称长度为1的向量为单位向量。
向量的长度（模）的计算公式是：

= |xyz|
把一个不是单位向量的向量缩放到1的过程，叫做标准化，也叫单位化向量。
单位化向量的计算公式
（x/|xyz|，y/|xyz|，z/|xyz|），使用一个非零向量除以它的模，就得到方向相同的单位向量。

math3d库中，有两个数据类型可以表示一个三维或者四维向量。
M3DVeoctor3f表示三维向量（x,y,z）
M3DVeoctor4f表示四维向量（x,y,z，w），典型情况下，w坐标设为1.0。x、y、z值除以w（缩放因子），来进行缩放。而本质上除以1.0不改变x、y、z的值。

声明三维向量/四维向量
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
声明一个三维向量
M3DVector3f vVector；
声明一个四维向量并初始化一个四维向量
M3DVector4f vVector = {0,0,1,1};
声明一个三分量顶点数组，例如生成一个三角形

M3DVector3f  vVerts[] = {
      -0.5f,0.0f,0.0f,
      0.5f,0.0f,0.0f,
      0.0f,0.5f,0.0f
}

点乘

向量直接可以加法、减法，还可以点乘，点乘只发生在两个向量之间。
2个单位向量点乘将得到一个标量，表示两个向量之间的夹角。（也就是夹角的cos值，[-1,1]之间）

math3d提供的点乘API：

float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u, const M3DVector3f v)：获得2个向量之间的点乘结果，即余弦值 = cosα
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u, const M3DVector3f v)：获取2个向量之间夹⻆的弧度值，即α = arccos(余弦值)

叉乘

向量之间叉乘是业务开发中比较常用的。2个向量叉乘得到另外一个向量，会与原来2个向量定义的平面垂直，也就是平面的法线。

math3d中叉乘API：

void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result, const M3DVector3f u, const M3DVector3f v)：2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量。

矩阵Matrix

假设我们想求得空间中一个点（x，y，z），围绕任意位置旋转一定角度后的新位置，可以通过矩阵计算。
新位置x不只与原来的x、旋转参数有关，还和y、z坐标有关。
只有一行或一列的矩阵，也可以称为向量。
在其他编程标准中，许多矩阵库定义一个矩阵时，使用二维数组。而在OpenGL的约定中，更多倾向使用一维数组。原因是：OpenGL使用的是column-Major（以列为主）矩阵排序的约定，这个在数学中叫转置矩阵。

这两个矩阵的内容是一样的。第一个矩阵读取数据的顺序是{A0,A1,A2,A3,A4...A15},第二个矩阵读取的顺序是{A0,A4,A8,A12,A1...A15}.
这16个值表示空间中一个特定的位置，这4列中每一列都是由4个元素组成的向量。如果将一个对象所有的顶点向量乘以这个矩阵，就能让整个对象变换到空间中给定的位置和方向。
列向量进行了特殊的标注，矩阵的最后一行都是0，只有最后一个元素为1。

4 * 4矩阵

1. 单元矩阵
有三种初始化方式：
①

GLFloat m[] = {
             1,0,0,0,        //X
             0,1,0,0,        //Y
             0,0,1,0,        //Z
             0,0,0,1         //Translation
}

②

M3DMatrix44f m = {
             1,0,0,0,        //X
             0,1,0,0,        //Y
             0,0,1,0,        //Z
             0,0,0,1         //Translation
}

③

void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

叉乘规则

将一个向量叉乘单元矩阵，就相当于一个向量 X 1，不会发生任何改变；
两个矩阵相乘，前一个矩阵的列数必须等于后一个矩阵的行数，否则不符合矩阵规则。

顶点向量的变换计算

1.线性代数角度
为了便于书写，都是从左到右计算的。从数学角度上由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即前一个矩阵列数等于后一个矩阵行数），必须将mvp矩阵（模型矩阵、视图矩阵、投影矩阵）放在右边，属于右乘。
公式：
变换后顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
变换后顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵