微分中值定理

费马引理

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导。如果对任意 $x\in U$ 有：

$f(x) {\geq} f(x_0)$ 或 $f(x) {\leq} f(x_0)$

那么， $f(x)$ 在 $x_0$ 处导数为0，即 $\dot{f(x_0)}=0$

简单来说，费马引理的意思是一个函数在某个区间中的极大值(或极小值)处的导数为0。

罗尔定理

如果函数 $f(x)$ 满足

闭区间 $[a, b]$ 连续
在开区间 $(a, b)$ 可导
$f(b)=f(a)$

那么，至少存在一点 $\xi \in (a, b)$ ，使得该点的导数为0，即 $\dot{f(\xi)}=0$

罗尔定理说的是一个在闭区间连续、开区间可导的函数，如果在区间的端点处函数值相等，那么在这个区间里面肯定能够取得极大值(或极小值)。

拉格朗日中值定理

如果函数 $f(x)$ 满足

闭区间 $[a, b]$ 连续
在开区间 $(a, b)$ 可导

那么，至少存在一点 $\xi \in (a, b)$ ，使得如下等式成立：
$f(b)-f(a)=\dot{f(\xi)}(b-a)$

拉格朗日中值定理说的是连接连续函数图像的端点得到的直线，其斜率必定与函数某一点的切线斜率相同。

柯西中值定理

如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足

闭区间 $[a, b]$ 连续
在开区间 $(a, b)$ 可导

那么，至少存在一点 $\xi \in (a, b)$ ，使得如下等式成立：
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{\dot{f(\xi)}}{\dot{g(\xi)}}\qquad其中\dot{g(\xi)}\neq0，g(a)\neq g(b)$

柯西中值定理本质与拉格朗日中值定理相同，区别在于柯西中值定理是用方程的形式来表达函数，
即用 $\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} {x=\Phi(t)} \\ {y=\Psi(t)} \end{aligned} \right. \end{equation}$ 确定的函数图像

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