立体几何复盘：如何证明面面垂直？
空间的垂直关系有以下三种：
线线垂直：包括共面垂直和异面垂直两类情况。
线面垂直
面面垂直
这三种垂直关系，可以相互转化。
（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。
（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。
（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。
（4）由面面垂直可以推出线面垂直。
（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。
真题实例
2015年文数全国卷A题18
如图，四边形
为菱形，
为
与
的交点，
平面
（Ⅰ）证明∶平面平面
;
【破解要点】
由线面垂直推出面面垂直，是证明面面垂直的常用方法。本题就是典型实例。
由菱形的对角线性质可以推出一对线线垂直：;
再由三线合一推出另外一对线线垂直：;
二者结合推出： 平面
.
据此得出结论：平面 平面
;
2017年文数全国卷A题18
如图，在四棱锥
中，
，且
（1）证明∶平面平面
;
【破解要点】
为证面面垂直，先证线面垂直.
由题设条件可得：
再由平行线的传递性可推出：
于是推出线面垂直：先证明 平面
根据这一对线面垂直关系，即可推出：平面 平面
;
2012年文数全国卷题19
如图，三棱柱
中，侧棱垂直底面，
是棱
的中点.
（I）证明∶平面平面
;
【破解要点】
在本题解答过程中起关键作用的是这一对线面垂直关系：
平面
;
2019年理数全国卷C题19
图1是由矩形
和菱形
组成的一个平面图形，其中
将其沿
折起使得
与
重合，连接
，如图2.
（1）证明∶图2中的四点共面，且平面
平面
;
说明：文数与理数的第1问相同
【破解要点】
平面
.
2018年理数全国卷A题18
如图，四边形
分别为
的中点，以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，且
.
（1）证明∶平面平面
;
【破解要点】
解答此题的基本思路仍是：由线面垂直推出面面垂直；
关键在于： 是矩形
;
平面
.
2016年理数全国卷A题18
如图，在以
为顶点的五面体中，面
为正方形，
，
，且二面角
与二面角
都是
（I）证明∶平面平面
;
【破解要点】
破解要点： 平面
.
2018年文数全国卷C题19
如图，矩形
所在平面垂直，
是
的点.
（1）证明∶平面平面
;
说明：文数与理数的第1问相同
【破解要点】
本题的关键有两点：
（一） 直径所对的圆周角是直角. 这是平面几何中的一个常用定理.
根据该定理可以推出：.
（二）矩形 所在平面与半圆弧
所在平面垂直，所以
平面
,
.
这是由面面垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直.
2010年文数全国卷题18
如图，已知四棱锥
，垂足为
，
是四棱锥的高.
（1）证明∶平面平面
;
【破解要点】
由线面垂直推出面面垂直，是证明面面垂直的最常用路径. 就本题而言，自然想到：
平面
？
为了证明这一线面垂直关系，需要两对线线垂直，其中之一是现成的：;
另外一对则由线面垂直推出：
是四棱锥的高.
平面
.
2015年理数全国卷A题18
如图，四边形
，
平面
（Ⅰ）证明∶平面;
【破解要点】
如果一个二面角的平面角是直角 ，那么这个二面角的两个面相互垂直. 用平面角来证面面垂直，可以称为：定义法.
连接 , 记对角线
的交点为
.
根据题设条件可以推出： 是等腰直角三角形.
;
.
而 都是等腰三角形，
是二面角
的平面角，∴ 平面
平面
;
本题的特点是综合度较高：立体几何、平面几何都要用到.
2017年理数全国卷C题19
如图，四面体
是正三角形，
是直角三角形，
（1）证明∶平面平面
;
【破解要点】
除了线面垂直以外，还有一个办法可以证明面面垂直：证明它的平面角是直角.
作 的中点
.
本题的关键在于以下三角形的全等关系：
