莫比乌斯反演

适用题目特征

常见和式

$\sum_{i=x}^{n}\sum_{j=y}^{m}[\gcd(i,j)=k]\qquad (1\leqslant T,x,y,n,m,k\leqslant 5\times 10^4)$

常见和式

$\sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,n)\quad \text{s.t.}\ 1\leqslant T\leqslant 3\times 10^5,1\leqslant n\leqslant 10^6$

常见和式

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\operatorname{lcm}(i,j)\qquad (n,m\leqslant 10^7)$

常见和式

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(i\cdot j)\\ \left(d(n)=\sum_{i \mid n}1\right) n,m,T\leq5\times10^4$
其中 $d(n)$ 表示 $n$ 的约数个数。

常见和式

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ni\cdot j\cdot \gcd(i,j)\bmod p$
$n\leq10^{10},5\times10^8\leq p\leq1.1\times10^9,p \text{是质数}$

原理

例题

Luogu P2522
代码如下

/*
Luogu P2522
*/
#define method_1
#ifdef method_1
/*

*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<ctime>
#include<string>
#include<bitset>
#define D(x) cout<<#x<<" = "<<x<<"  "
#define E cout<<endl
#define rep(i,s,t) for(int i=(s);i<=(t);i++)
#define rep0(i,s,t) for(int i=(s);i<(t);i++)
#define rrep(i,t,s) for(int i=(t);i>=(s);i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>pii;
const int maxn=5e4+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int T,a,b,c,d,k;
int mu[maxn],p[maxn],v[maxn],m;
void pre(){
    mu[1]=1;
    rep(i,2,maxn-5){
        if(!v[i]) p[++m]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=m&&i*p[j]<=maxn-5;j++){
            v[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) {mu[i*p[j]]=0;break;}
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    rep(i,1,maxn-5) mu[i]+=mu[i-1];
}
int calc(int n,int m){
    int res=0;
    for(int i=1,j;i<=min(n,m);i=j+1){
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        res+=(mu[j]-mu[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return res;
}
void solve(){
    int res=calc(b/k,d/k)-calc(b/k,(c-1)/k)-calc((a-1)/k,d/k)+calc((a-1)/k,(c-1)/k);
    cout<<res<<endl;
}
int main() {
//  ios::sync_with_stdio(false);
//  freopen("Problem b.in","r",stdin);
    cin>>T;
    pre();
    while(T--) cin>>a>>b>>c>>d>>k,solve();
    return 0;
}
#endif
#ifdef method_2
/*

*/

#endif
#ifdef method_3
/*

*/

#endif

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