第7课：熟练掌握代数式变形技巧

本文收录至文集：写给家长的思维训练课

1、本课程专门针对学生家长，适合那些乐于在家辅导孩子学习的家长朋友

2、本课程解题思维与解题技巧跨度较大，覆盖了K12各个年龄段

3、本课程以问题为引导，每课都分成【问题】、【解答】、【总结】、【课后练习】四大板块， 部分课附有课前公式引导

4、对于【课后练习】请登录简书，在评论中作答，我会不定期批改

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【问题】

已知a>b>0，且ab=1，当\frac{a^2 +b^2 }{a-b} 取最小值时，求实数b的值。

【解答】

首先对分式做变形，注意到分子分母都含有a,b，应该将分子变形出含有分母的项：

\frac{a^2 +b^2 }{a-b} =\frac{(a-b)^2 +2ab }{a-b}=(a-b)+\frac{2ab}{a-b}

因为ab=1，进一步可将分式变形成：

(a-b)+\frac{2}{a-b}

根据基本不等式，当这个式子取最小值时，a-b=\frac{2}{a-b}

又因为ab=1

解得：b=\frac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{2}

【总结】

1、无论题设还是问题中出现了较为复杂的代数式，都应该先处理代数式，将其变形成较为简单的/整齐的/常见的代数式

2、在处理代数式时，需要灵活使用因式分解、各类常见不等式。有必要时可将代数式转换成函数，然后用微积分的方法处理。

例如，本题也可以设分母为x，然后将分式转化成函数：

f(x)=\frac{x^2 -2}{x} ，其中x>0

再利用导数 ，求出当函数取最小值时实数x的取值，进而解出实数b的值

【课后练习】

1、已知正项等比数列{a_{n} }的公比为2，若a_{m} a_{n} =4a_{2}^2 ，求\frac{2}{m} +\frac{1}{2n} 的最小值。

2、直线ax+by+1=0与圆x^2 +y^2=1相切，求a+b+ab的最大值。

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