第 10 章反函数和反三角函数

Time: 2019-11-29
Title:第 10 章反函数和反三角函数

本章重点：
1.使用导数证明一个函数有反函数;
2.求反函数的导数;
3.逐个来看反三角函数;
4.反双曲函数

10.1 导数和反函数

一个函数在定义域上式连续的，是递增或递减的。那么满足水平线检测，就有反函数。递增或递减合一用导数来检验。

导数和反函数：如果 f 在其定义域 (a; b) 上可导且满足以下条件中的任意一条：
(1) $对于所有的在 (a, b) 中的 x, f' (x) > 0;$
(2) $对于所有的在 (a, b) 中的 x, f' (x) < 0;$
(3) $对于所有的在 (a, b) 中的 x, f' (x) \ge 0 且对于有限个数的 x, f'(x) = 0;$
(4) $对于所有的在 (a, b) 中的 x, f'(x) \le 0 且对于有限个数的 x, f0'(x) = 0,$

则 f 有反函数.

如果其定义域是 [a; b]、 [a; b) 或 (a; b] 的形式, 且 f 在整个定义域上连续, 那么如果 f 满足上述四个条件中的任意一条, 它仍然有反函数.

10.1.3 求反函数的导数

如果 $y=f^{-1}(x)$ , 则 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}$

$\frac{d}{dx}(f^{-1}(x))=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

反函数的导数基本上就是原函数的导数的倒数, 只是对于后面这个导数你必须用 $f^{-1}(x)$ 而不是 x 进行计算

例如求 $y=x^3$ 的反函数的导数，1. $x=y^3$ , 2. $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3y^2}=\frac{1}{3x^{2/3}}$

反函数也满足函数的所有性质。

10.2 反三角函数

10.2.1 反正弦函数

$sin^{-1} (x) 和 (sin (x))^{-1} 不是一回事, 尽管我们有sin^{2}(x) = (sin (x))^{2}及 sin^{3} (x) = (sin (x))^{3}$

$sin^{-1}(x)=arcsin(x)$

$\frac{d}{dx}sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},其中 -1\lt x\lt 1.$

$sin^{-1}$ 是奇函数; 其定义域为 [-1; 1], 值域为 [-π/2; π/2].

10.2.2 反余弦函数

$\frac{d}{dx}cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},其中 -1\lt x\lt 1.$

$cos^{-1}$ 既不是偶函数也不是奇函数; 其定义域为 [-1, 1], 值域为 [0, π]

10.2.3 反正切函数

$\frac{d}{dx}tan^{-1}(x)=\frac{1}{1+x^2}$

$tan^{-1}$ 是奇函数; 其定义域是 R 且值域是 (-π/2; π/2).

$\mathop{lim}\limits_{x\to \infty}tan^{-1}(x)=\frac{\pi}{2},\mathop{lim}\limits_{x\to -\infty}tan^{-1}(x)=-\frac{\pi}{2}$

10.2.4 反正割函数

将定义域限制在 $[0,π] 上, 并除去点 π/2,$ 因为它甚至不在 sec (x) 的原始定义域中.

正割函数的值域是 (¡1; ¡1] 和 [1; 1) 这两个区间的并集

$\mathop{lim}\limits_{x\to \infty}sec^{-1}(x)=\frac{\pi}{2},\mathop{lim}\limits_{x\to -\infty}sec^{-1}(x)=\frac{\pi}{2}$

$对于 x > 1 或 x < -1, \frac{d}{dx}sec^{-1}(x)=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$sec^{-1} 既不是奇函数也不是偶函数; 其定义域是 (-\infty , -1] \cup[1,\infty) 且值域是 [0, π] \backslash\{\frac{\pi}{2}\}.$

10.2.5 反余割函数和反余切函数

$sec^{-1} 是奇函数; 其定义域是 (-\infty , -1] \cup[1,\infty) 且值域是 [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2},] \backslash\{0\}.$

$cot^{-1}既不是奇函数也不是偶函数; 其定义域为 R 且值域是[0, π].$

$\mathop{lim}\limits_{x\to \infty}csc^{-1}(x)=0,\mathop{lim}\limits_{x\to -\infty}csc^{-1}(x)=0$

$\mathop{lim}\limits_{x\to \infty}cot^{-1}(x)=0,\mathop{lim}\limits_{x\to -\infty}cot^{-1}(x)=\pi$

10.2.6 计算反三角函数

化简 $sin^{-1}(sin(\frac{13\pi}{10}))$
= $-\frac{3\pi}{10}$

10.3 反双曲函数

$cosh^{-1} 既不是奇函数也不是偶函数; 其定义域是 [1,\infty) 且值域是 [0,\infty).$

$sinh^{-1}是奇函数; 其定义域和值域都是 R.$

对于 x > 1 , $\frac{d}{dx}cosh^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
对于所有的实数 x, $\frac{d}{dx}sinh^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

对于 x > 1 , $cosh^{-1}(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})$
对于所有的实数 x, $sinh^{-1}(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$

$tanh^{-1}$ 是奇函数; 其定义域是 (-1, 1), 值域是 R .
$sech^{-1}既不是奇函数也不是偶函数; 其定义域是 (0,1], 值域是 [0,\infty).$
$csch^{-1} 是奇函数; 其定义域和值域都是 R\backslash \{0\}$ .
$coth^{-1} 是奇函数; 其定义域是 (\infty,-1) \cap[1,\infty), 值域是R\backslash \{0\}$

$\frac{d}{dx}tanh^{-1}(x)=\frac{1}{1-x^2} (-1<x<1)$
$\frac{d}{dx}coth^{-1}(x)=\frac{1}{1-x^2} (x>1或x<-1)$
$\frac{d}{dx}sech^{-1}(x)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} (0<x<1)$
$\frac{d}{dx}csch^{-1}(x)=-\frac{1}{|x|\sqrt{1-x^2}} (x\not= 0)$

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