大数据中的统计学基础——Day6

本章内容：

1. 期望
2. 方差
3. 协方差与矩

一、期望

离散型随机变量的数学期望：

随机变量的期望值=加权均值

1、示例：

2、（0-1）分布的期望：

若X服从参数为p的（0-1）分布，则E(X)=p

3、二项分布的数学期望：

若X~B(n,p)分布，则E(X)=np

连续型随机变量的数学期望：

这是将离散型随机变量的定义类比到连续型随机变量上。

1、均匀分布的数学期望：

若X~U(a,b)，则服从均匀分布的随机变量的期望值位于区间（a,b）中点。E(X) = a+b/2

2、正态分布的数学期望：

若X~N(μ,σ²)，则E(X) = μ

数学期望的性质：

举例：

二、方差

衡量数据的离散程度，即数据的稳定性。

设X施一个随机变量，若E{[X-E(X)²]}存在，则称E{[X-E(X)²]}为X的方差，记为D(X)或 Var(X)，即D(X)=Var(x)=E{[X-E(X)²]}。

标准化：

(0 - 1)分布的方差：

若X服从参数为p的（0-1）分布，则D(X)=p(1-p)

均匀分布的方差：

若X~U(a,b)，则D(X) = (b - a)²/12

二项分布的方差：

若X~B(n,p)分布，则D(X)=np(1-p)

正态分布的方差：

若X~N(μ,σ²)，则D(X) = σ²

方差的性质：

​ 3.D(X+Y) = D(X) + D(Y) - 2E{(X - E(X))(Y - E(Y))}

三、协方差与矩

协方差的性质:

相关系数的性质：

不相关与相互独立的关系：

当𝜌_XY＝０时（即Cov(X,Y)=0)我们称X与Ｙ不相关。相互独立一定不相关，反之不一定成立。

矩：

协方差矩阵：