前言：
线代知识点多，有点抽象，写的时候尽量把这些知识点串起来，如果不行，那就两串。其包含的几大对象为：向量，行列式，矩阵，方程组。
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观点
核心问题是求多元方程组的解，核心知识：内积、秩、矩阵求逆，应用：求解线性回归、最小二乘法用QR分解，奇异值分解SVD，主成分分析（PCA）运用可对角化矩阵
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向量
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基础
向量：是指具有n个互相独立的性质(维度)的对象的表示，向量常使用字母+箭头的形式进行表示，也可以使用几何坐标来表示向量。
单位向量：向量的模、模为一的向量为单位向量
内积又叫数量积、点积：为一个数
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正交向量：内积为零
应用
向量组和特征向量-
矩阵
定义：描述线性代数中线性关系的参数，即矩阵是一个线性变换， 可以将一些向量转换为另一些向量。 Y=AX表示的是向量X和Y的一种映射关系，其中A是 描述这种关系的参数。
Y=AX这个在向量组线型相关中经常见到
直观表示：
- 矩阵和向量
当m=1或者n=1的时候，称A为行向量或者列向量 - 方阵 负矩阵，上下三角矩阵 对角矩阵 单位矩阵
行列式变换会用到三角矩阵
区分单位向量 - 矩阵的转置
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行列式
通常用到的行列式是一个数
行列式是数学的一个函数，可以看作在几何空间中，一个线性变换 对“面积”或“体积”的影响。
- 方阵行列式
n阶方阵A的方阵行列式表示为|A|或者det(A) -
代数余子式
：Aij=(-1)(i+j)Mij
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伴随矩阵
为了求矩阵的逆
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方阵的逆
AB=BA=E，那么称B为A的逆矩阵，而A被称为可逆矩阵或非奇异矩阵。 如果A不存在逆矩阵，那么A称为奇异矩阵。A的逆矩阵记作：A-1
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矩阵的初等变换
矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等 变换．
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行阶梯形矩阵 最简矩阵 标准行
前者来求变量之间的关系，后者计算矩阵的秩
定理（1）表明 ，即A 经一系列初等行变换 变为B,则 有可逆矩阵P,使 如何求P？
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矩阵的秩
K阶子式是个行列式
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向量组
向量组：有限个相同维数的行向量或列向量组合成的一个集合就 叫做向量组
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向量的线性表示
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转化为方程组为：
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同理：如果向量组B 可由向量组A表示则
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AX=B 有解
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线性相关和线性无关
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用秩来判断是否相关
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线性方程组
定理 1：
n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零 解的充要条件是 R(A) < n
推论 当 m < n 时，齐次线性方程组 一定有非零解
定理 2：
n 元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是 R(A) < R(A，b) ;
(ii) 有唯一解的充要条件是
R(A) = R(A，b) = n ;
(iii) 有无穷多解的充要条件是
R(A) = R(A，b) < n
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解得结构
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特征值和特征向量
A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A 的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量
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特征值的性质
(1)n阶方阵A=(aij)的所有特征根λ1、λ2.....λn，则有
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(2)若λ是可逆矩阵A的一个特征根，x为对应的特征向量： 则1/λ是矩阵A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 则λm次方是矩阵Am次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
(3)设λ1、λ2.....λn是方阵A的互不相同的特征值，xi是λi的特征向量，则 x1,x2...xn线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关
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几个特殊矩阵
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可对角化矩阵
image.png - 正定矩阵
对于n阶方阵A，若任意n阶向量x，都有xTAx>0，则称矩阵A为正 定矩阵 - 正交矩阵
若n阶方阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵，简称正交阵（复数域 上称为酉矩阵）
A是正交阵的充要条件：A的列(行)向量都是单位向量，且两两正交 -
QR 分解（正交三角分解）
对于m*n的列满秩矩阵A，必有：
用到施密特正交化
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奇异值分解
可以看作是对称方阵在任意矩阵上的推广。
与特征值、特征向量的概念相对应，则：
Σ对角线上的元素称为矩阵A的奇异值
U和V称为A的左/右奇异向量矩阵
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矩阵的等价标准型
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步骤
求特征值和特征向量
特征向量构成V1，求出U1
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向量的导数
A为mn的矩阵，x为n1的列向量，则Ax为m*1的列向量
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向量的偏导公式
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image.png - 标量对方阵的导数
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后记：
才疏学浅，慢慢学习，慢慢更新，与诸君共勉
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