推荐系统遇上深度学习系列：
推荐系统遇上深度学习(一)--FM模型理论和实践：https://www.jianshu.com/p/152ae633fb00
推荐系统遇上深度学习(二)--FFM模型理论和实践:https://www.jianshu.com/p/781cde3d5f3d
推荐系统遇上深度学习(三)--DeepFM模型理论和实践：
https://www.jianshu.com/p/6f1c2643d31b
推荐系统遇上深度学习(四)--多值离散特征的embedding解决方案：https://www.jianshu.com/p/4a7525c018b2
推荐系统遇上深度学习(五)--Deep&Cross Network模型理论和实践：
https://www.jianshu.com/p/77719fc252fa

1、原理

PNN，全称为Product-based Neural Network，认为在embedding输入到MLP之后学习的交叉特征表达并不充分，提出了一种product layer的思想，既基于乘法的运算来体现体征交叉的DNN网络结构，如下图：

按照论文的思路，我们也从上往下来看这个网络结构：

输出层
输出层很简单，将上一层的网络输出通过一个全链接层，经过sigmoid函数转换后映射到(0,1)的区间中，得到我们的点击率的预测值：

l2层
根据l1层的输出，经一个全链接层 ，并使用relu进行激活，得到我们l2的输出结果：

l1层
l1层的输出由如下的公式计算：

重点马上就要来了，我们可以看到在得到l1层输出时，我们输入了三部分，分别是lz，lp 和 b1，b1是我们的偏置项，这里可以先不管。lz和lp的计算就是PNN的精华所在了。我们慢慢道来

Product Layer

product思想来源于，在ctr预估中，认为特征之间的关系更多是一种and“且”的关系，而非add"加”的关系。例如，性别为男且喜欢游戏的人群，比起性别男和喜欢游戏的人群，前者的组合比后者更能体现特征交叉的意义。

product layer可以分成两个部分，一部分是线性部分lz，一部分是非线性部分lp。二者的形式如下：

在这里，我们要使用到论文中所定义的一种运算方式，其实就是矩阵的点乘啦：

我们先继续介绍网络结构，有关Product Layer的更详细的介绍，我们在下一章中介绍。

Embedding Layer

Embedding Layer跟DeepFM中相同，将每一个field的特征转换成同样长度的向量，这里用f来表示。

损失函数
使用和逻辑回归同样的损失函数，如下：

2、Product Layer详细介绍

前面提到了，product layer可以分成两个部分，一部分是线性部分lz，一部分是非线性部分lp。

看上面的公式，我们首先需要知道z和p，这都是由我们的embedding层得到的，其中z是线性信号向量，因此我们直接用embedding层得到：

论文中使用的等号加一个三角形，其实就是相等的意思，你可以认为z就是embedding层的复制。

对于p来说，这里需要一个公式进行映射：

不同的g的选择使得我们有了两种PNN的计算方法，一种叫做Inner PNN，简称IPNN，一种叫做Outer PNN，简称OPNN。

接下来，我们分别来具体介绍这两种形式的PNN模型，由于涉及到复杂度的分析，所以我们这里先定义Embedding的大小为M，field的大小为N，而lz和lp的长度为D1。

2.1 IPNN

IPNN的示意图如下：

IPNN中p的计算方式如下，即使用内积来代表pij：

所以，pij其实是一个数，得到一个pij的时间复杂度为M，p的大小为N*N，因此计算得到p的时间复杂度为N*N*M。而再由p得到lp的时间复杂度是N*N*D1。因此 对于IPNN来说，总的时间复杂度为N*N(D1+M)。文章对这一结构进行了优化，可以看到，我们的p是一个对称矩阵，因此我们的权重也可以是一个对称矩阵，对称矩阵就可以进行如下的分解：

因此：

因此：

从而得到：

可以看到，我们的权重只需要D1 * N就可以了，时间复杂度也变为了D1*M*N。

2.2 OPNN

OPNN的示意图如下：

OPNN中p的计算方式如下：

此时pij为M*M的矩阵，计算一个pij的时间复杂度为M*M，而p是N*N*M*M的矩阵，因此计算p的事件复杂度为N*N*M*M。从而计算lp的时间复杂度变为D1 * N*N*M*M。这个显然代价很高的。为了减少负责度，论文使用了叠加的思想，它重新定义了p矩阵：

这里计算p的时间复杂度变为了D1*M*(M+N)

3、代码实战

终于到了激动人心的代码实战环节了，一直想找一个实现比较好的代码，找来找去tensorflow没有什么合适的，倒是pytorch有一个不错的。没办法，只能自己来实现啦，因此本文的代码严格根据论文得到，有不对的的地方或者改进之处还望大家多多指正。

本文的github地址为：
https://github.com/princewen/tensorflow_practice/tree/master/Basic-PNN-Demo.

本文的代码根据之前DeepFM的代码进行改进，我们只介绍模型的实现部分，其他数据处理的细节大家可以参考我的github上的代码.

模型输入

模型的输入主要有下面几个部分:

self.feat_index = tf.placeholder(tf.int32,
                                 shape=[None,None],
                                 name='feat_index')
self.feat_value = tf.placeholder(tf.float32,
                               shape=[None,None],
                               name='feat_value')

self.label = tf.placeholder(tf.float32,shape=[None,1],name='label')
self.dropout_keep_deep = tf.placeholder(tf.float32,shape=[None],name='dropout_deep_deep')

feat_index是特征的一个序号，主要用于通过embedding_lookup选择我们的embedding。feat_value是对应的特征值，如果是离散特征的话，就是1，如果不是离散特征的话，就保留原来的特征值。label是实际值。还定义了dropout来防止过拟合。

权重构建

权重由四部分构成，首先是embedding层的权重，然后是product层的权重，有线性信号权重，还有平方信号权重，根据IPNN和OPNN分别定义。最后是Deep Layer各层的权重以及输出层的权重。

对线性信号权重来说，大小为D1 * N * M
对平方信号权重来说，IPNN 的大小为D1 * N，OPNN为D1 * M * M。

def _initialize_weights(self):
    weights = dict()

    #embeddings
    weights['feature_embeddings'] = tf.Variable(
        tf.random_normal([self.feature_size,self.embedding_size],0.0,0.01),
        name='feature_embeddings')
    weights['feature_bias'] = tf.Variable(tf.random_normal([self.feature_size,1],0.0,1.0),name='feature_bias')


    #Product Layers
    if self.use_inner:
        weights['product-quadratic-inner'] = tf.Variable(tf.random_normal([self.deep_init_size,self.field_size],0.0,0.01))
    else:
        weights['product-quadratic-outer'] = tf.Variable(
            tf.random_normal([self.deep_init_size, self.embedding_size,self.embedding_size], 0.0, 0.01))



    weights['product-linear'] = tf.Variable(tf.random_normal([self.deep_init_size,self.field_size,self.embedding_size],0.0,0.01))
    weights['product-bias'] = tf.Variable(tf.random_normal([self.deep_init_size,],0,0,1.0))
    #deep layers
    num_layer = len(self.deep_layers)
    input_size = self.deep_init_size
    glorot = np.sqrt(2.0/(input_size + self.deep_layers[0]))

    weights['layer_0'] = tf.Variable(
        np.random.normal(loc=0,scale=glorot,size=(input_size,self.deep_layers[0])),dtype=np.float32
    )
    weights['bias_0'] = tf.Variable(
        np.random.normal(loc=0,scale=glorot,size=(1,self.deep_layers[0])),dtype=np.float32
    )


    for i in range(1,num_layer):
        glorot = np.sqrt(2.0 / (self.deep_layers[i - 1] + self.deep_layers[i]))
        weights["layer_%d" % i] = tf.Variable(
            np.random.normal(loc=0, scale=glorot, size=(self.deep_layers[i - 1], self.deep_layers[i])),
            dtype=np.float32)  # layers[i-1] * layers[i]
        weights["bias_%d" % i] = tf.Variable(
            np.random.normal(loc=0, scale=glorot, size=(1, self.deep_layers[i])),
            dtype=np.float32)  # 1 * layer[i]


    glorot = np.sqrt(2.0/(input_size + 1))
    weights['output'] = tf.Variable(np.random.normal(loc=0,scale=glorot,size=(self.deep_layers[-1],1)),dtype=np.float32)
    weights['output_bias'] = tf.Variable(tf.constant(0.01),dtype=np.float32)


    return weights

Embedding Layer
这个部分很简单啦，是根据feat_index选择对应的weights['feature_embeddings']中的embedding值，然后再与对应的feat_value相乘就可以了：

# Embeddings
self.embeddings = tf.nn.embedding_lookup(self.weights['feature_embeddings'],self.feat_index) # N * F * K
feat_value = tf.reshape(self.feat_value,shape=[-1,self.field_size,1])
self.embeddings = tf.multiply(self.embeddings,feat_value) # N * F * K

Product Layer
根据之前的介绍，我们分别计算线性信号向量，二次信号向量，以及偏置项，三者相加同时经过relu激活得到深度网络部分的输入。

# Linear Singal
linear_output = []
for i in range(self.deep_init_size):
    linear_output.append(tf.reshape(
        tf.reduce_sum(tf.multiply(self.embeddings,self.weights['product-linear'][i]),axis=[1,2]),shape=(-1,1)))# N * 1

self.lz = tf.concat(linear_output,axis=1) # N * init_deep_size

# Quardatic Singal
quadratic_output = []
if self.use_inner:
    for i in range(self.deep_init_size):
        theta = tf.multiply(self.embeddings,tf.reshape(self.weights['product-quadratic-inner'][i],(1,-1,1))) # N * F * K
        quadratic_output.append(tf.reshape(tf.norm(tf.reduce_sum(theta,axis=1),axis=1),shape=(-1,1))) # N * 1

else:
    embedding_sum = tf.reduce_sum(self.embeddings,axis=1)
    p = tf.matmul(tf.expand_dims(embedding_sum,2),tf.expand_dims(embedding_sum,1)) # N * K * K
    for i in range(self.deep_init_size):
        theta = tf.multiply(p,tf.expand_dims(self.weights['product-quadratic-outer'][i],0)) # N * K * K
        quadratic_output.append(tf.reshape(tf.reduce_sum(theta,axis=[1,2]),shape=(-1,1))) # N * 1

self.lp = tf.concat(quadratic_output,axis=1) # N * init_deep_size

self.y_deep = tf.nn.relu(tf.add(tf.add(self.lz, self.lp), self.weights['product-bias']))
self.y_deep = tf.nn.dropout(self.y_deep, self.dropout_keep_deep[0])

Deep Part
论文中的Deep Part实际上只有一层，不过我们可以随意设置，最后得到输出：

# Deep component
for i in range(0,len(self.deep_layers)):
    self.y_deep = tf.add(tf.matmul(self.y_deep,self.weights["layer_%d" %i]), self.weights["bias_%d"%i])
    self.y_deep = self.deep_layers_activation(self.y_deep)
    self.y_deep = tf.nn.dropout(self.y_deep,self.dropout_keep_deep[i+1])
self.out = tf.add(tf.matmul(self.y_deep,self.weights['output']),self.weights['output_bias'])

剩下的代码就不介绍啦！
好啦，本文只是提供一个引子，有关PNN的知识大家可以更多的进行学习呦。

参考文献
1 、https://zhuanlan.zhihu.com/p/33177517
2、https://cloud.tencent.com/developer/article/1104673?fromSource=waitui
3、https://arxiv.org/abs/1611.00144