噪声系数的推导

噪声系数的公式

教材上的公式

当放大器对信号进行放大时，必然要降低入射信号的信噪比，可以用放大器的噪声系数F来表征这种影响的大小。最原始噪声因子公式定义为放大器输入端信噪比和输出端信噪比的比值
$F=\frac{{SNR}_{input}}{{SNR}_{output}}=\frac{\frac{P_{in}}{N_{in}}}{\frac{P_{out}}{N_{out}}}=\frac{N_{out}}{GN_{in}}$

这里的SNR指的是将光信号转换成电信号的信噪比。一般来说，F与探测器的点噪声和热噪声有关。

我们可以在点噪声极限的理想探测器情况下求出F的表达式。输入信号的SNR为

$(SNR)_{in}=\frac{<I>^2}{\sigma_s^2}=\frac{(RP_{in})^2}{2q(RP_{in})\Delta f}=\frac{P_{in}}{2h\nu \Delta f}$
式中，Pin为入射信号光功率，<I>=RPin表示平均光电流，R=q/hv为理想探测器（量子效率为1）的响应度， $\sigma_s^2=2q(RP_{in})\Delta f$ 为探测器的点噪声，Δf为探测器的带宽

在求放大器输出信号的SNR时，应考虑到放大器自发辐射对探测器噪声的贡献，ASE导致的噪声近似为白噪声，噪声功率谱密度为
$S_{sp} = (G - 1) n_{sp} h \nu$
其中, $n_{sp}$ 为自发辐射系数（因子）或反转数因子，对于二能级系统，它等于激发态的粒子数除以激发态和基态粒子数的差值
$n_{sp} = \frac{N_{2}}{N_{2} - N_{1}}$

自发辐射对放大器输出功率的影响在于探测过程中它引起光电流漂移，研究表明这种影响主要来源于自发辐射和信号的差拍噪声，这样在放大器出端探测器上的噪声为
$\sigma ^2 = 2q(RGP_{in})\Delta f + 4(RGP_{in})(RS_{sp})\Delta f$
其中，第一项表示点噪声，第二项表示自发辐射-信号差拍噪声，为了简化 我们忽略了其他的噪声。

当G远远大于1时可得出，放大器的噪声指数为
$NF = \frac{2(G-1)n_{sp}}{G} = 2*n_{sp}$

公式的拓展

上式是基于光子数波动（photon number fluctuations, pnf），即
$F_{pnf} \approx \frac{1}{G}+2n_{sp}(1-1/G)$

但是，该式不能计算级联情况下的噪声系数，且放大器出端探测器上的噪声只考虑了两项，并不准确，因为信号光子数并不总是那么大。因此H. A. Haus等人对标准的噪声系数做了推广

将SNR定义为信号功率（或者能量）除以信号幅度的均方涨落（mean square fluctuation）
以场振幅平方（field amplitudes squared, fas）形式的噪声系数为
$F_{fas}=\frac{\frac{h \nu <n_s> }{h \nu /2}}{\frac{h \nu G <n_s>}{(h \nu /2)(1+n_{sp}(G-1))}}=1+n_{sp}(1-1/G)$

这种噪声系数是信号无关的，然而无法直接测量。一个变化形式的拓展噪声系数公式给出如下
$F_{ASE}-1 \equiv \frac{ASE noise power}{G h \nu B_s} = \frac{n_{sp}(G-1)}{G}=n_{sp}(1-1/G)$
该式有三个优点

可测量（计算）
给出了噪声统计的完整信息
服从级联公式

$F_{ASE}$ 公式与 $F_{fas}$ 公式是一致的， $F_{ASE} = F_{fas}$

噪声系数的推导

噪声系数的公式

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公式的拓展

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