声明：本套试题的填空题和计算题第3题的解析补充是本人自己做的， 其他的答案来自原题评分标准，如发现答案有错误或者不够准确请及时给我留言，如需转载请表明出处。感谢所有提出意见和建议，以及帮助过我的朋友。如果觉得还行，欢迎点赞转发，谢谢！
第一部分数学基础课程
（共40 分）
一、用逻辑符号形式化下列语句（每小题 2 分，共 4 分）
1．并非一切事情都能由机器来完成。
解析：设 W(x): x 是事情；M( y): y 是机器；C(x, y)：x 能由 y 来完成。原句可形式化为以下两
种形式之一：
（1）
（2）
说明：写出上述任一种形式均可得满分。但如缺少设置的内容，则只给 1 分。
2．存在一个唯一的偶素数。
解析：设 P(x)：x 是素数； E(x)：x 是偶数，T(x, y)：x = y； 则原句可形式化为以下两种形
式之一：
（1）
（2）或直接设：P(x)：x 是偶素数，T(x, y)：x = y； 则原句可形式化为：
说明：写出上述任一种形式均可得分。但如缺少设置的内容，则只给 1 分。
如果写成只给 1 分。
二、填空题（前两小题每题 2 分，后一小题 3 分，共 7 分）
1．5 位男生和 5 位女生排成男女相间的一列，有________种不同的排法。
解析：把男生和女生分成两排，分别全排列有5!种排列，此时有排列有 ,接着将男生和女生按序相间组成一排，此时有两种排法（男生排在女生前面或者后面），因此总排法有
2．具有 n (n...1)个顶点的连通图至少有__n-1______条边。
解析：【定理（离散数学教程7.9）】设G为n阶无向图，若G是连通图，则G的边数
3．一个大正方形是由四个相同的小正方形构成，如图 1 所示，用黑白两种颜色对 4 个小正方 形着色，如果经过某种旋转，颜色能完全吻合的方案认为是相同的，则有____6____种不同 的方案。
解析：先选择全白或者全黑就有2种，选1个白色和3个黑色以及反色这种组合有2种。最后就两黑两白的组合有2种，因此总共有6种。
三、解答题（前两小题每题 5 分，第 3 小题 7 分，第 4 小题 6 分，共 23 分）
1．求由 2 个 0、3 个 2 和 3 个 5 构成的八位数共有多少个。
解析：设所求的个数为 x ，则由 2 个 0、3 个 2 和 3 个 5 构成的首项为 2 的八位数有
个 ……2 分
则由 2 个 0、3 个 2 和 3 个 5 构成的首项为 5 的八位数也有
个 ……2 分
故由加法原则得 x=210+210=420. ……1 分
2．设图 G 有 14 个顶点，27 条边，每个顶点的度只可能为 3、4 或 5，且 G 有 6 个度为 4 的顶 点，问 G 有多少个度为 3 的顶点？多少个度为 5 的顶点？
解析：设 G 中有 x 个度为 3 的顶点，
则 G 中有 个度为 5 的顶点 ……2 分
由于顶点度数之和等于边数的两倍得 ，即 x=5
……2 分
故 G 中有 5 个度为 3 的顶点，3 个度为 5 的顶点。 ……1 分
3．有 200 本相同的书，欲摆放在四个不同的书柜里，使得每个书柜摆放的书的数目只可能是 20、40、60、80、100 本，问有多少种摆放方法？
解析：这题考组合，因此可以用母函数来解，即
求
的系数。 ……2 分
(这步转换
,
)
……2 分
(式1)
，则式1可以表示为：
……2 分
故 的系数为
所以有 68 种放法。 ……1 分
4．设集合 A={a, b}，试回答下列问题：
（1）写出A上所有的偏序关系。
（2）写出 A 上所有的函数，并指出哪些是双射函数。
解析：
（1）A 上的偏序关系有如下 3 个：
……3分
（2）A上的函数共有4个：
其中
是双射函数。 ……3分
四、证明题（共 6 分）
对任意集合 A、B，试证明 。
证明：先证
若 ，则：
(集合交定义)
(命题逻辑化简律)
从而有。 ……3分
再证
利用反证法，假设，但
，则
（1）必存在元素 e，e∈A，但 e 不属于 。
即，而由
知，e∈A必有e∈B，
则e∈A必有，所以假设不成立。
或
（2）假设 ，但
，则存在元素
，但 e 不属于 A。
由，则有e∈A∧e∈B，同样与假设矛盾。 ……3分
综合上述，有 成立
