数值分析：误差

1 误差的来源

模型误差：数学模型与实际问题之间出现的误差
方法误差：由数值计算方法所得到的近似解与模型的准确解的误差
舍入误差：计算机执行算法时由于字长等原因产生的误差
观测误差：由实验观测或测量产生的误差

数值计算只考虑方法误差与舍入误差。（重点！！敲黑板！！）

1.1 方法误差举例

例1：求积分 $\int^1_0{e^{-x^2}}$
解：显然，这个积分的被积函数不存在原函数。因此需要采用数值积分方法求解。
由于可微函数可以使用泰勒（Taylor）展开（重点！！）近似替代
$P_n(x)=f(x_0)+\frac{f^{’}(x_0)}{1!}+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
则数值方法的方法误差是
$R_n(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

1.2 舍入误差

由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差
由于原始数据或机器中的十进制转化为二进制数产生的初始误差。

由于实数集是无穷多个数，而计算机内部是以二进制表示，在转换过程中会存在误差。

2 误差的概念

设 x* 是准确值 x 的一个近似值

绝对误差
$\epsilon(x^*)=x-x^*$
绝对误差限
$|\epsilon(x^*)|=|x-x^*|\le\epsilon$
相对误差
$\epsilon_r(x^*)=\frac{\epsilon(x^*)}{x}=\frac{x-x^*}{x}$
相对误差限
$|\epsilon_r(x^*)|=|\frac{\epsilon(x^*)}{x}|=|\frac{x-x^*}{x}|\le\epsilon_r$

3 有效数字

若近似值 x* 的误差限是某一单位的半个单位，该位到近似值 x* 的第一位非零数字共有 n 位，就说该近似值有 n 位有效数字。

定理1：设近似数 x* 表示为
$x^*= \pm 10^m \times (a_1+a_2 \times 10^{-1} + ... + a_n \times 10^{-(l-1)})$ $(a_1 \neq 0)$
其中 $a_i(i=1,2,...,l)$ 是 0 到 9 中的一个数字， $a_1 \neq 0$ ，m 为整数。
若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限
$\epsilon^*_r \le \frac{1}{2a_1} \times 10^{-n+1}$
反之，则 x* 至少存在 n 位有效数字。

4 数值计算中的误差估计

和（差）的误差限等于误差限之和
$\epsilon(x^*+y^*) \le \epsilon(x^*)+\epsilon(y^*)$
积的误差限
$\epsilon(x^* \times y^*) \le |x^*|\epsilon(y^*) + |y^*|\epsilon(x^*)$
商的误差限
$\epsilon(\frac{x^*}{y^*}) \le \frac{|x^*|\epsilon(y^*)+|y^*|\epsilon(x^*)}{y^{*2}}$
函数的误差限
$\epsilon(f(x^*)) \approx|f^{’}(x^*)|\epsilon(x^*)$