線性代數複習-part1

參考李宏毅老師課程

基本名詞

Transpose:轉置

Transpose
Identity matrix(I):單位矩陣
任何矩陣與Identity相乘都不會有改變。
$I_3:$

單位矩陣
Domain
ex. $y=x^2，domain=R，Co-domain=R^2，Range=(R^+,0)$
(one to one) and (into)
wiki
consistent相容、inconsistent矛盾
一個方程式若consistent表示有解，inconsistent表示無解
Homogeneous 齊次
一個線性方程沒有偏移量，常數項為零，則稱為線性齊次方程，至少會有一組解。
Span

系統(system)

一個系統有輸入與輸出，可以看做一個function、transformation、operator。

線性系統(linear system)

性質
１．若 $x=y，kx=ky，k=constant$
２．若 $x_1=y_1，x_2=y_2，x_1+x_2=y_1+y_2$
則為一個線性系統，微分與積分符合這兩樣特性，微分與積分為線性系統。

基本numpy矩陣相乘

設置矩陣

1.內積
wiki(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9%E7%A7%AF)

2.外積
wiki(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A7%AF)

3.對應值相乘

向量、矩陣與坐標軸關係

若將聯立方程式以row作為向量於座標軸中，則向量的垂線加上偏移等於方程式於座標中的圖形，若多個圖形有交點則有解(每一個交點為一解)。
若將聯立方程式以column作為向量於座標軸中，若有解，表示"變數項的column向量"能通過乘倍數與相互加減成"常數項的column向量"。

二維
row、column觀察矩陣:
$1x+4y=0$
$-3x+2y=7$
$sol: (x = -2 ， y = 0.5)$

row、column觀察座標:
$row:$

線不同方向彼此線性獨立，所以有唯一解 $。$
$[1　4]、[-3　2]$ 的垂線(藍線與紅線)(向量方向為正)， $[-3　2]向x偏移\frac{7}{-3}，向y偏移\frac{7}{2}$ ，各軸偏移: $(\frac{偏移}{軸係數})$ 。
兩線交點為方程式 $x、y$ 的解 $[-2　0.5]。$
補充:向量方向的 $x、y$ 代入得正數，反方向的 $x、y$ 得負數，若在線上得零 $。$
$column:$
$[1　-3]、[4　2]乘[-2　0.5]後兩向量相加等於[0　7]$ ，若 $[1　-3]、[4　2]$ 各乘上某係數相加能指到 $[0　7]$ 表示此方程有解。

三維
row、column觀察矩陣：
$2x+1y+1z=5$
$4x-6y+0z=-2$
$-2x+7y+2z=9$
$sol: (x = 1 ， y = 1，z=2)$

row、column觀察座標：
$row:$

不同平面上彼此線性獨立，所以有唯一解 $。$
$[2　1　1]、[4　-6　0]、[-2　7　2]$ 這3個向量，各自為這三個平面的法向量，各軸偏移: $\frac{偏移}{軸係數}$ ，三線交點為方程式 $x、y$ 的解 $[1　1　2]$ ，黃球為交點 $(1,1,2)。$
補充:向量方向的 $x、y$ 代入得正數，反方向的 $x、y$ 得負數，若在線上得零 $。$
$column:$
$[2　1　1]、[4　-6　0]、[-2　7　2]$ 乘 $[1　1　2]$ 後三向量相加等於 $[5　-2　9]$ ，若 $[2　1　1]、[4　-6　0]、[-2　7　2]$ 各乘上某係數後相加能指到 $[5　-2　9]$ 表示此方程有解。

row

row

column

Span

矩陣column的向量集S(vector set或向量空間)，他的線性組合就稱為Span S，也可以說是S generation Span S。

solution解
若b的向量空間屬於Span {column of A}，則有解。

相依Dependent、獨立Independent

定義
在線性代數裏，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，則稱為線性無關或線性獨立（linearly independent），反之稱為線性相關（linearly dependent）。
$\{a1,a2,a3,......,an\}$ ，一組vector set
$\{x1,x2,x3,......,xn\}$ ，一組vector set的係數
$\{a1x1+a2x2+a3x3+......,anxn=0\}$ ，一組線性方程
--
若 $\{a1x1+a2x2+a3x3+......,anxn=0\}$ ，
1.在任何 $\{x1,x2,x3,......,xn\}$ 不全為零的狀況下成立，那麼此方程為Dependent，
2.若只有在 $\{x1=x2=x3=......=xn=0\}$ 成立，那麼此方程為Independent 。
另一個觀點
1.若一個A的vector set， $A=\{a1,a2,a3,......,an\}$ 能找到一個ai能由其他A的元素線性組合而成，則此A的線性組合為Dependent，若有任意一個ai為Zero vector(零向量)則必為Dependent。
例子

Dependent

Dependent

Independent
與Solution(解)的關係
1.若線性組合，Dependent(相依)，則線性方程為無解或有無限多組解。
2.若線性組合，Independent ，則線性方程為具有唯一解。

Rank(秩)與Nullity(零化度)

定義
一個矩陣中從中挑選數個column出來，他們的線性組合能為獨立，挑選出來的個數最大值為Rank(秩)， $Nullity(零化度) = 矩陣的column數 - Rank。$
所以矩陣若為獨立，則Rank = 矩陣的column數。
例

判斷是否有解

等價

高斯消去法

以前的筆記

augmented matrix(擴增矩陣)
3個操作

Reduced Row Echelon Form(RREF)

Row Echelon Form：
1..若有row為零，必須在矩陣的最下方。
2..leading entries(pivot)，row的第一個非零數，必須為梯形。
Reduced Row Echelon Form：
1..若有row為零，必須在矩陣的最下方。
2..leading entries(pivot)，row的第一個非零數，必須為梯形。
3..leading entries(pivot)必須為單位向量。
Reduced Row Echelon Form(RREF)在一個矩陣中是唯一的。

pviot column
RREF找解
若有free variables則為無限多組解，若有row只有一個非零於最後一column則無解。
高斯消去法示例
判斷向量集是獨立或相依
將向量集A與x做線性組合，解完高斯消去後若能找到一組非零的x能使向量集等於零，此向量集為相依，pviot column數不等於 A column數為相依。

RREF 其他應用

Column Correspondence Theorem
1.若某一個向量集A裡面有某 $a_j=a_k+a_l$ ，則RREF的 $r_j=r_k+r_l$
2.若Ax=0則做高斯消去b不管怎麼消一定還是等於0，所以Ax=0，Rx=0，有一樣的解。
RREF v.s. Independent
1.只要是獨立的Column(被Rank選中的column)，在RREF上一定是 pviot column，一個pviot column可以解出一個未知數 $。$
回想(前面說過): 矩陣若為獨立，則Rank = 矩陣的column數。
2.所以只要矩陣是獨立的那麼RREF所有column都必須是pviot column $。$
RREF v.s Rank
1.A的Rank = RREF的Rank
2.如果 $A=m \times n的矩陣$ ，則 $Rank \le min(m,n)(m,n裡面較小的一個)$
3.Rank=RREF能得到的非free變量數目，Nullity=RREF能得到的free變量數目
RREF v.s consistent(有解)
因為RREF有幾個pviot等於有幾個非零的row，也等於Rank A $。$
而無解在[A b]的RREF會多出只有b cloumn為非零的非零row $。$

所以 $Rank A \not= Rank[A　b]$ ，就表示無解， $Rank A = Rank[A　b]$ 則有解 $。$
A在任何b皆consistent(有解)
A在任何b皆consistent(有解)： $\underline{Rank A = m}。$
1. $A=m \times n矩陣$ ，若RREF A有zero row，則代入任何b後，[A b]可能為"無解"或有解，可以由無解的 $[R　b']$ 反推b，必定有b能使之成立。
2.A的RREF不能有zero row，此時 $\underline{Rank A = m}$ ，m = b number of row $。$
3.因為無解必須滿足:
條件一:A RREF沒有zero row
條件二:row的b為not zero
結論:因為條件一不成立，所以 $\underline{Rank A = m}$ 時，A在任何b皆consistent(有解)。
任何b皆consistent(有解) 與座標關係
任何b皆consistent(有解) 等於"Rank A = m"，假設Rank = 3 = m，代表有3個獨立Vector column(下圖不透明之藍、綠、紅)，可以Span(線性組合成整個3維空間)，此時因為m = b，b一定3維，一定能由3個獨立Vector線性組合而成，所以必定有解。
例如:
Rank = 3 = m時，n無論是等於m或大於m，大於m只是在3維空間中增加其他向量，還是涵蓋在3維中，所以"Rank A = m"時，有沒有解與n無關。
得出另一個結論:
$m個independent column能夠Span　R^m的空間$ ，所以如果n>m則必定是dependent，因為多出的向量必定涵蓋在m維中，一定能由m個向量線性組合而成。
Rank = m，Rank = n

最后编辑于：2019.03.29 18:47:09

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