1.Lyapunov稳定性分析
Lyapunov用数学的方法定义了稳定性。
（1）Stability in the sense of Lyapunov
对于二维系统来说，可以理解为若起始点在一个半径为的圆内，那么之后系统的轨迹将会被限制在半径为
的圆内。
（2）Assymptotic Stability（渐进稳定）
对于二维系统来说，可以理解为若起始点在一个半径为的圆内，那么在无限久之后，系统将会趋于稳定点。
1.1 Lyapunov在非线性系统中的应用
一般使用Lyapunov直接法来判断非线性系统的稳定性。
假设有系统，在x=0处为平衡点。那么在平衡点处，有
。
设一个函数，若其满足
（1）为正定(positive definition)函数
（2）为半负定(negative semi definition)
那么x=0是系统的稳定点。
若其满足
（1）为正定(positive definition)函数
（2）为负定(negative semi definition)
那么x=0是系统的渐进稳定点。
Lyapunov函数V的导数为：
，即V的梯度乘以f(x)，记作
对于一个单摆，不考虑摩擦，其作用力的方程可以写为：
设状态
设系统的能量为方程V(x1,x2)，其包括动能和势能。
，所以V是一个正定的函数。
同理，算得，所以其为半负定的函数。
以上说明了系统是一个稳定系统，但不是渐进稳定的。
1.2 The Invariance Principle
对于某些系统，证明出其是稳定但非渐进稳定，但是实际上它是渐进稳定的（比方说带有摩擦力的单摆）。所以引出不变性定理如下：
若系统满足
（1）在区域D内是正定的（0包含在区域D内）
（2）在某一区域
内半负定
（3）除非在x=0的时候，其他任何在区域D的轨迹中都不等于0
于是若李雅普诺夫方程V满足以上条件，则系统渐进稳定。
1.3 Control Lyapunov Function
我们主要研究control affine system，。
。
但是对于渐进稳定，我们只知道它会从收敛到稳定点，但是不能确定其收敛速度。于是Lyapunov Constraint被提出，表示了的最小减小速度。
如果能找到，且
，使得
，那么其就满足exponentially stabilzing（ES-CLF）。
