非线性控制

1.Lyapunov稳定性分析

Lyapunov用数学的方法定义了稳定性。
（1）Stability in the sense of Lyapunov
$\forall t_0, \forall \epsilon, \exists \delta(t_0,\epsilon): ||x(t_0)||<\delta(t_0,\epsilon) \longrightarrow \forall t>=t_0 \ ||x(t)||<\epsilon$
对于二维系统来说，可以理解为若起始点在一个半径为 $\delta(t_0,\epsilon)$ 的圆内，那么之后系统的轨迹将会被限制在半径为 $\epsilon$ 的圆内。

（2）Assymptotic Stability（渐进稳定）
$\exists \delta(t_0)>0: ||x(t_0)||<\delta(t_0)\longrightarrow lim_{t\rightarrow \infty}||x(t)||=0$
对于二维系统来说，可以理解为若起始点在一个半径为 $\delta(t_0)$ 的圆内，那么在无限久之后，系统将会趋于稳定点。

1.1 Lyapunov在非线性系统中的应用

一般使用Lyapunov直接法来判断非线性系统的稳定性。
假设有系统 $\dot x=f(x)$ ，在x=0处为平衡点。那么在平衡点处，有 $\dot x=f(0)=0$ 。
设一个函数 $V$ ，若其满足
（1） $V$ 为正定(positive definition)函数
（2） $\dot V$ 为半负定(negative semi definition)
那么x=0是系统的稳定点。
若其满足
（1） $V$ 为正定(positive definition)函数
（2） $\dot V$ 为负定(negative semi definition)
那么x=0是系统的渐进稳定点。

Lyapunov函数V的导数为：
$\nabla V*f(x)$ ，即V的梯度乘以f(x)，记作 $L_f*f(x)$

对于一个单摆，不考虑摩擦，其作用力的方程可以写为：
$\ddot\theta +\frac{g}{l}*sin\theta=0$
设状态 $x_1=\theta,x_2=\dot x_1=-\frac{g}{l}*sin x_1$
设系统的能量为方程V(x1,x2)，其包括动能和势能。
$V(x(t))=\frac{1}{2}ml^2x_2^2+mgl(1-cos x_1)$
$V(x(t)=0)=0,V(x(t)!=0)>0$ ，所以V是一个正定的函数。
同理，算得 $\nabla V*f(x)=0$ ，所以其为半负定的函数。
以上说明了系统是一个稳定系统，但不是渐进稳定的。

1.2 The Invariance Principle

对于某些系统，证明出其是稳定但非渐进稳定，但是实际上它是渐进稳定的（比方说带有摩擦力的单摆）。所以引出不变性定理如下：
若系统满足
（1） $V(x)$ 在区域D内是正定的（0包含在区域D内）
（2） $\dot V(x)$ 在某一区域 $R\subset D$ 内半负定
（3） $\dot V(x)$ 除非在x=0的时候，其他任何在区域D的轨迹中都不等于0
于是若李雅普诺夫方程V满足以上条件，则系统渐进稳定。

1.3 Control Lyapunov Function

我们主要研究control affine system， $\dot x=f(x)+g(x)u$ 。
$\dot V=L_fV(x)+L_gV(x)u$ 。
但是对于渐进稳定，我们只知道它会从收敛到稳定点，但是不能确定其收敛速度。于是Lyapunov Constraint被提出，表示了 $V(x)$ 的最小减小速度。
如果能找到 $u\in U$ ，且 $\lambda >0$ ，使得 $\dot V(x,u)+\lambda V(x)<=0$ ，那么其就满足exponentially stabilzing（ES-CLF）。

非线性控制

1.Lyapunov稳定性分析

1.1 Lyapunov在非线性系统中的应用

1.2 The Invariance Principle

1.3 Control Lyapunov Function

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