线性代数之又谈矩阵
很感激大家能够对一些知识感兴趣，前段时间我一直在被各种ddl折磨于是没有时间继续将这个主题讲下去 实在是不好意思 如果关于矩阵的本质 如果没有弄清楚 没有关系 是因为你对一些基础的知识没有很完整的掌握 比方说一些必要的计算与证明 在经过一些基础知识的了解后 你才会对本质会有一种豁然开朗的感觉 但我确实有些东西并没有阐述清楚 所以这篇文章也变得有必要起来
我先给出上次关于向量与变换之间关系的答案，首先更正一下是矩阵 就以最简单的
来说 由前文可知矩阵表示的是一种变换而
表示的就是表示一个从二维空间至数轴的线性变换 而向量的每一分量则是基向量原来二维空间的基向量即
在该变换下的在数轴上新的坐标 一种二维上的点投射至一维数轴上的点的变换 其实这种变换是与高中所学的点乘相联系的 所以点乘的定义为对应项的相乘后的相加因为 它表明的是一个向量经过变换后的新坐标
再补充一点，有关于向量的概念（其实这个问题本应该早就解决的 但由于我的思路不太清晰）关于向量我们所学的概念就是既有大小又有方向的量 这个说法是不是很抽象 但当我们提起向量 我们脑海中想到的却是一个带箭头的线段 为了简单我们将其放在二维空间中，任意向量都能被基向量
表示为
比方说
这种你也可以将其视作一种运动即沿着x正方向运动2个单位 再沿着y轴正方向运动一个单位 对于一个三维向量 第一个数表示沿X轴前进 第二个数沿y轴移动 第三个数表示沿Z轴移动
所以从这个角度上来说向量的加法不是用所谓的三角形法则来进行解释 就可以直观的解释为比如先进行第一个向量所表示的运动 在进行第二个向量所表示的运动
向量的数乘则是一种缩放 这个从直观上即可得出 无须赘述
当然用带箭头的线段这种可视化的确有利于我们的理解 但并不能仅仅将其理解为简单的但箭头的线段 我在前文提过它可以作为一组数据列表 比如 但向量这个概念比之有更大的内涵 只要满足某些条件的东西都可以视作向量（这些条件我将在关于线性空间的阐述中说明） 所以它有如此抽象的定义 而我们的正常的认知过程是从具体逐步转变为抽象的一个过程 但是在我们大学学习线性代数的过程中 我们学习的是高度抽象的 它是第二代数学模型 通过公理化体系来进行说明的 给我们的理解带来了极大的困难
最后来进行一个小小的预告 下次的重心仍然是矩阵 只不过是关于矩阵与图的关系 我觉得是很有意思的一个部分
由于之前思维的不成体系 我这次稍微把后面要写的东西 做了一些简单的规划
- 行列式
- 特征值与特征向量
- 正交与最小二乘
- 对称矩阵与奇异值分解
- 抽象线性空间
