微积分的发现必须归功于牛顿和莱布尼茨，从此以后，微积分不再是古希腊几何的附庸，而是一门独立的学科。

相同贡献：将微积分算术化，即在代数概念创造微积分。他们使用的代数方法和符号比几何更有效，且能处理广泛的问题。他们最重要的贡献是把面积、体积以及之前用和处理的问题归到反微分，即四个主要问题：速率、切线、最大值最小值和求和全部可以归结到微积分中。

差异：牛顿用x,y的无穷小增量作为求流数（导数）的手段，当增量越来越小时，流数（导数）是增量比的极限。而莱布尼茨直接用x,y的无穷小增量求出它们的关系。前者重视物理中的运动，以速度为中心；后者哲学出身，着眼于物质的最终颗粒（莱布尼茨称其为单子monad）。因此牛顿从变化率出发解决面积、体积问题，而莱布尼茨用和来求解。

牛顿自由地用级数表示函数，莱布尼茨则宁愿用有限形式、1676年二人的通信中，牛顿强调用级数，甚至用在简单的微分方程里，而莱布尼茨认为要在确定的范围内获得结果。

牛顿的工作方式是依靠经验、具体而谨慎的，莱布尼茨则富于想象且大胆的，后者更关心创造广泛意义的微积分，例如积法则、商法则，以此建立的微积分的规范。而前者尽管知道积法则，却没有指出这个普遍结论，不强调这些方法；他给微积分的应用划出了辽阔的疆域，刺激并决定了整个十八世纪分析的方向。

二人口水战的经过：

牛顿1665-1687年没有发表过微积分的工作，只是跟朋友分享了一些内容，特别是1669年给老师巴罗写了《分析学》。莱布尼茨1672年在巴黎，1673年在伦敦，并和认识牛顿的人进行通信，1684年发表了关于微积分的论文。因此有人怀疑莱布尼茨窃取了牛顿的工作成果，在两人去世很久后，调查发现：虽然牛顿先于莱布尼茨发明了微积分，但莱布尼茨也是独立发明者。这场争论使数学家分成两派：大陆数学家（如伯努利兄弟）支持莱布尼茨，英国数学家捍卫牛顿，导致两边交流停滞。因为牛顿在原理中使用几何方法，所以英国人继续用几何方法；大陆的数学家使用并改进了莱布尼茨的分析法，把英国数学家抛在后面。

一些补充工作：

牛顿提出了求多项式根的上界规则，给出了求方程近似根的普遍方法（称为牛顿迭代法或牛顿-拉夫逊方法）。

罗尔1691年提出了罗尔定理（中值定理之一，另外两个为朗格朗日、柯西）：如函数在x=a,b等于0，那a,b间的某个x值处导数=0，但未证明。

詹姆斯伯努利（1655-1705）自学数学，1686年成为巴塞尔大学的教授。约翰伯努利（1667-1748）跟他的哥哥学习数学，后来也在巴塞尔大学任教。两人经常和莱布尼茨、惠更斯等人通信，因为很多信件成果未发表，谁先发现的成了问题。约翰急于成名，开始和哥哥竞争，用不正当手段把别人和哥哥的成果占为己有，詹姆斯很敏感，用同样的手段回击（差了12岁还这样……）莱布尼茨想调和他俩的矛盾，结果詹姆斯一是认为莱布尼茨抢了他的功劳，二是偏袒弟弟，当牛顿的盟友跟莱布尼茨掐架时，他写信给对方吐槽莱布尼茨。

伯努利兄弟的工作也是关于求曲率、法包线、拐点、曲线长度和其他基本微积分课题。詹姆斯把牛顿的级数应用扩展到积分复杂的代数函数和超越函数，1691年他们给出了求曲率半径的公式。

约翰伯努利留下了一个著名定理：洛必达法则，用来求分子、分母趋于0时的极限，江湖传说是洛必达跟伯努利学习时花钱买的。

PS 今天发现其他博主早就做了这本书的阅读笔记，感觉叙述比我流畅很多，如果对本书有兴趣不妨收藏他的博客~本文相关链接