条件语句的等价描述与证明

• 如果p，则q
• 如果p，q
• q如果p
• p蕴含q
• p仅当q
• p是q的充分条件
• q的一个充分条件是p
• q当p
• q每当p
• q是p的必要条件
• p的一个必要条件是q
• q由p得出
• q除非
• q假定p

如何证明两个命题等价？

• 证明两个命题有相同的真值表

1. 证明：命题“p仅当q”跟命题“如果p，则q”等价
   p仅当q说的是“当q不为真时p也不为真”，或者“如果q不为真，则p也不为真”。
   假设q'表示命题q不为真，p'表示命题p不为真，则命题p仅当q说的是“如果q'，则p'”
   利用条件语句的定义和真值表有：

   • q'为真(q为假)，p'为真(p为假)，则命题p仅当q为真；
   • q'为真(q为假)，p'为假(p为真)，则命题p仅当q为假；
   • q'为假(q为真)，p'为真(p为假)，则命题p仅当q为真；
   • q'为假(q为真)，p'为假(p为真)，则命题p仅当q为真；

2. 命题“q是p的一个必要条件”跟命题“如果p，则q”等价
   q是p的一个必要条件说的是“p不能为真除非q为真”，或者“如果q为假，则p也为假”
   假设q'表示命题q为假，p'表示命题p为假，则命题q是p的一个必要条件说的是“如果q'，则p'”
   利用条件语句的定义和真值表有：

   • q'为真(q为假)，p'为真(p为假)，则命题q是p的一个必要条件为真；
   • q'为真(q为假)，p'为假(p为真)，则命题q是p的一个必要条件为假；
   • q'为假(q为真)，p'为真(p为假)，则命题q是p的一个必要条件为真；
   • q'为假(q为真)，p'为假(p为真)，则命题q是p的一个必要条件为真；

3. 命题“p是q的一个充分条件”跟命题“如果p，则q”等价
   p是q的一个充分条件说的是“如果p为真，则q也为真”。
   假设p'表示命题p为真，q'表示命题q为真，则命题p是q的一个充分条件说的是“如果p'，则q'”
   利用条件语句的定义和真值表有：

   • p'为真(p为真)，q'为真(q为真)，则命题p是q的一个充分条件为真；
   • p'为真(p为真)，q'为假(q为假)，则命题p是q的一个充分条件为假；
   • p'为假(p为假)，q'为真(q为真)，则命题p是q的一个充分条件为真；
   • p'为假(p为假)，q'为假(q为假)，则命题p是q的一个充分条件为真；

4. 命题“q除非”跟命题“如果p，则q”等价
   q除非说的是“如果为假，则q为真”。
   假设p'表示命题为假，q'表示命题q为真，则命题q除非说的是“如果p'，则q'”
   利用条件语句的定义和真值表有：

   • p'为真(p为真)，q'为真(q为真)，则命题q除非为真；
   • p'为真(p为真)，q'为假(q为假)，则命题q除非为假；
   • p'为假(p为假)，q'为真(q为真)，则命题q除非为真；
   • p'为假(p为假)，q'为假(q为假)，则命题q除非为真；