这个内容主要是三面角的面角与二面角之间的关系

三面角正弦定理

$\frac {\sin \alpha}{\sin A}=\frac {\sin \beta}{\sin B}=\frac {\sin \gamma}{\sin C}$

三面角正弦定理.jpg

证明
在 $SA$ 上取一点 $P$ 使得 $SP=1$ ，
作 $PP' \perp$ 平面 $SBC$ ， $P'B' \perp SB$ ， $P'C' \perp SC$
即有 $PC'=SP \cdot \sin \beta =\sin \beta$
于是 $PP'=PC' \cdot \sin C=\sin \beta \cdot \sin C$
同理 $PP'=\sin \gamma \cdot \sin B$
则 $\sin \beta \cdot \sin C=\sin \gamma \cdot \sin B$
整理一下，得：
$\frac {\sin \beta}{\sin B}=\frac {\sin \gamma}{\sin C}$
证毕

三面角第一余弦定理

$\cos \alpha=\cos \beta \cdot \cos \gamma -\sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \cos A$

$\cos \beta=\cos\gamma \cdot \cos \alpha -\sin \gamma \cdot \sin \alpha \cdot \cos B$

$\cos \gamma=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos C$

图示：

三面角第一余弦定理.jpg

证明
在 $SA$ 上取一点 $P$ 使得 $SP=1$ ，
在平面 $SAB$ 与平面 $SAC$ 中作 $PQ \perp SA$ ， $PR \perp SA$
则有 $\angle A=\angle QPR$
有 $PR=SP \cdot \tan \beta$ ，同理 $PQ=\tan \gamma$
另有 $SP= \frac{SP}{\cos \beta}=\frac{1}{\cos \beta}$ ，同理 $SQ=\frac{1}{\cos \gamma}$
在 $\triangle _{PQR}$ 和 $\triangle _{SQR}$ 中，写余弦定理
$QR^2=PQ^2+PR^2-2PQ \cdot PR \cdot \cos A=SQ^2+SR^2-2SQ \cdot SR \cdot \cos \alpha$

$\tan^2 \gamma +\tan^2 \beta -2\tan \gamma \cdot \tan \beta \cdot\cos A=\frac{1}{\cos ^2\beta}+\frac{1}{\cos ^2\gamma}-2\frac{1}{\cos \beta \cdot \cos \gamma} \cdot \cos \alpha$

$2\frac{\cos \alpha}{\cos \beta \cdot \cos \gamma}=2+2\frac{\sin \beta \cdot \sin \gamma}{\cos \beta \cdot \cos \gamma} \cdot \cos A$

$\cos \alpha =\cos \beta \cdot \cos \gamma+\sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \cos A$

证毕

三面角第二余弦定理

$\cos A=- \cos B \cdot \cos C+\sin B \cdot \sin C \cdot \cos \alpha$

$\cos B=- \cos C \cdot \cos A+\sin C \cdot \sin A \cdot \cos \beta$

$\cos C=- \cos A \cdot \cos B+\sin A \cdot \sin B \cdot \cos \gamma$

证明

下面证明第一式：
可以从上面的三面角第一余弦定理中直接计算证明，得：
$\cos B=\frac {\cos \beta-\cos \alpha \cdot \cos \gamma}{\sin \alpha \cdot \sin \gamma}$

$\cos C=\frac {\cos \gamma-\cos \alpha \cdot \cos \beta}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}$

于是，由平方关系（易知 $\sin B > 0$ ）可得
$\sin B =\sqrt {1-{\cos^2 B}}=\frac {\sqrt{\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \gamma-(\cos \beta-\cos \alpha \cdot \cos \gamma)^2}}{\sin \alpha \cdot \sin \gamma}$

$=\frac {\sqrt {(1-\cos^2 \alpha)(1-\cos^2 \beta)-(\cos \beta-\cos \alpha \cdot \cos \gamma)^2}}{\sin \alpha \cdot \sin \gamma}$

$=\frac {\sqrt {1-\cos^2 \alpha-\cos^2 \beta -\cos^2 \gamma+2\cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma}}{\sin \alpha \cdot \sin \gamma}$

同理，
$\sin C =\frac {\sqrt {1-\cos^2 \alpha-\cos^2 \beta -\cos^2 \gamma+2\cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma}}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}$

于是处理右边：
$- \cos B \cdot \cos C+\sin B \cdot \sin C \cdot \cos \alpha$

$=- \frac {(\cos \beta-\cos \alpha \cdot \cos \gamma)(\cos \gamma-\cos \alpha \cdot \cos \beta)}{\sin^2 \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma}$

$+\frac {1-\cos^2 \alpha-\cos^2 \beta -\cos^2 \gamma+2\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \beta \cdot \cos^2 \gamma}{\sin^2 \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma} \cdot \cos \alpha$

$=\frac {(\cos \alpha -\cos \beta \cdot \cos \gamma)(1- \cos^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma}$

$=\frac {\cos \alpha-\cos \beta \cdot \cos \gamma}{\sin \beta \cdot \sin \gamma}=\cos A$

证毕

讲点一样的，讲点不一样的。
但总在写些有的没的。

——爱数学的筑梦人

三面角正余弦定理

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三面角第一余弦定理

三面角第二余弦定理

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