一 基础理论

1 准备知识：条件概率公式

相信学过概率论的同学对于概率论绝对不会陌生，如果一时觉得生疏，可以查阅相关资料，在这里主要是想贴出条件概率的计算公式：

P(A|B)=P(A,B)/P(B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

2 如何使用条件概率进行分类

假设这里要被分类的类别有两类，类c1和类c2，那么我们需要计算概率p(c1|x,y)和p(c2|x,y)的大小并进行比较：

如果：

         p(c1|x,y)>p(c2|x,y),则(x,y)属于类c1

         p(c1|x,y)<p(c2|x,y),则(x,y)属于类c2

我们知道p(x,y|c)的条件概率所表示的含义为：已知类别c1条件下，取到点(x，y)的概率；那么p(c1|x,y)所要表达的含义呢？显然，我们同样可以按照条件概率的方法来对概率含义进行描述，即在给定点(x,y)的条件下，求该点属于类c1的概率值。那么这样的概率该如何计算呢？显然，我们可以利用贝叶斯准则来进行变换计算：
　　p(ci|x,y)=p(x,y|ci)*p(ci)/p(x,y)

利用上面的公式，我们可以计算出在给定实例点的情况下，分类计算其属于各个类别的概率，然后比较概率值，选择具有最大概率的那么类作为点(x,y)的预测分类结果。

以上我们知道了通过贝叶斯准则来计算属于各个分类的概率值，那么具体而言，就是计算贝叶斯公式中的三个概率，只要得到了这三个概率值，显然我们就能通过贝叶斯算法预测分类的结果了。因此，到了这里，我们就知道了朴树贝叶斯算法的核心所在了。

二 朴素贝叶斯完成文本分类

朴素贝叶斯的一个非常重要的应用就是文档分类。在文档分类中，整个文档（比如一封电子邮件）是实例，那么邮件中的单词就可以定义为特征。说到这里，我们有两种定义文档特征的方法。一种是词集模型，另外一种是词袋模型。顾名思义，词集模型就是对于一篇文档中出现的每个词，我们不考虑其出现的次数，而只考虑其在文档中是否出现，并将此作为特征；假设我们已经得到了所有文档中出现的词汇列表，那么根据每个词是否出现，就可以将文档转为一个与词汇列表等长的向量。而词袋模型，就是在词集模型的基础上，还要考虑单词在文档中出现的次数，从而考虑文档中某些单词出现多次所包含的信息。

1 拆分文本，准备数据

要从文本中获取特征，显然我们需要先拆分文本，这里的文本指的是来自文本的词条，每个词条是字符的任意组合。词条可以为单词，当然也可以是URL，IP地址或者其他任意字符串。将文本按照词条进行拆分，根据词条是否在词汇列表中出现，将文档组成成词条向量，向量的每个值为1或者0，其中1表示出现，0表示未出现。

接下来，以在线社区的留言为例。对于每一条留言进行预测分类，类别两种，侮辱性和非侮辱性，预测完成后，根据预测结果考虑屏蔽侮辱性言论，从而不影响社区发展。

词表到向量的转换函数

#---------------------------从文本中构建词条向量-------------------------
#1 要从文本中获取特征，需要先拆分文本，这里特征是指来自文本的词条，每个词
#条是字符的任意组合。词条可以理解为单词，当然也可以是非单词词条，比如URL
#IP地址或者其他任意字符串 
#  将文本拆分成词条向量后，将每一个文本片段表示为一个词条向量，值为1表示出现
#在文档中，值为0表示词条未出现


#导入numpy
from numpy import *

def loadDataSet():
#词条切分后的文档集合，列表每一行代表一个文档
    postingList=[['my','dog','has','flea',\
                  'problems','help','please'],
                 ['maybe','not','take','him',\
                  'to','dog','park','stupid'],
                 ['my','dalmation','is','so','cute',
                  'I','love','him'],
                 ['stop','posting','stupid','worthless','garbage'],
                 ['my','licks','ate','my','steak','how',\
                  'to','stop','him'],
                 ['quit','buying','worthless','dog','food','stupid']]
    #由人工标注的每篇文档的类标签
    classVec=[0,1,0,1,0,1]
    return postingList,classVec

#统计所有文档中出现的词条列表    
def createVocabList(dataSet):
    #新建一个存放词条的集合
    vocabSet=set([])
    #遍历文档集合中的每一篇文档
    for document in dataSet:
        #将文档列表转为集合的形式，保证每个词条的唯一性
        #然后与vocabSet取并集，向vocabSet中添加没有出现
        #的新的词条        
        vocabSet=vocabSet|set(document)
    #再将集合转化为列表，便于接下来的处理
    return list(vocabSet)

#根据词条列表中的词条是否在文档中出现(出现1，未出现0)，将文档转化为词条向量    
def setOfWords2Vec(vocabSet,inputSet):
    #新建一个长度为vocabSet的列表，并且各维度元素初始化为0
    returnVec=[0]*len(vocabSet)
    #遍历文档中的每一个词条
    for word in inputSet:
        #如果词条在词条列表中出现
        if word in vocabSet:
            #通过列表获取当前word的索引(下标)
            #将词条向量中的对应下标的项由0改为1
            returnVec[vocabSet.index(word)]=1
        else: print('the word: %s is not in my vocabulary! '%'word')
    #返回inputet转化后的词条向量
    return returnVec

需要说明的是，上面函数creatVocabList得到的是所有文档中出现的词汇列表，列表中没有重复的单词，每个词是唯一的。

2 由词向量计算朴素贝叶斯用到的概率值

这里，如果我们将之前的点(x,y)换成词条向量w(各维度的值由特征是否出现的0或1组成)，在这里词条向量的维度和词汇表长度相同。

p(ci|w)=p(w|ci)*p(ci)/p(w)

我们将使用该公式计算文档词条向量属于各个类的概率，然后比较概率的大小，从而预测出分类结果。

具体地，首先，可以通过统计各个类别的文档数目除以总得文档数目，计算出相应的p(ci)；然后，基于条件独立性假设，将w展开为一个个的独立特征，那么就可以将上述公式写为p(w|ci)=p(w0|ci)p(w1|ci)...p(wN|ci),这样就很容易计算，从而极大地简化了计算过程。

代码如下：

#训练算法，从词向量计算概率p(w0|ci)...及p(ci)
#@trainMatrix：由每篇文档的词条向量组成的文档矩阵
#@trainCategory:每篇文档的类标签组成的向量
def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):
    #获取文档矩阵中文档的数目
    numTrainDocs=len(trainMatrix)
    #获取词条向量的长度
    numWords=len(trainMatrix[0])
    #所有文档中属于类1所占的比例p(c=1)
    pAbusive=sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)
    #创建一个长度为词条向量等长的列表
    p0Num=zeros(numWords);p1Num=zeros(numWords)
    p0Denom=0.0;p1Denom=0.0
    #遍历每一篇文档的词条向量
    for i in range(numTrainDocs):
        #如果该词条向量对应的标签为1
        if trainCategory[i]==1:
            #统计所有类别为1的词条向量中各个词条出现的次数
            p1Num+=trainMatrix[i]
            #统计类别为1的词条向量中出现的所有词条的总数
            #即统计类1所有文档中出现单词的数目
            p1Denom+=sum(trainMatrix[i])
        else:
            #统计所有类别为0的词条向量中各个词条出现的次数
            p0Num+=trainMatrix[i]
            #统计类别为0的词条向量中出现的所有词条的总数
            #即统计类0所有文档中出现单词的数目
            p0Denom+=sum(trainMatrix[i])
    #利用NumPy数组计算p(wi|c1)
    p1Vect=p1Num/p1Denom  #为避免下溢出问题，后面会改为log()
    #利用NumPy数组计算p(wi|c0)
    p0Vect=p0Num/p0Denom  #为避免下溢出问题，后面会改为log()
    return p0Vect,p1Vect,pAbusive

3 针对算法的部分改进

1)计算概率时，需要计算多个概率的乘积以获得文档属于某个类别的概率，即计算p(w0|ci)p(w1|ci)...p(wN|ci)，然后当其中任意一项的值为0，那么最后的乘积也为0.为降低这种影响，采用拉普拉斯平滑，在分子上添加a(一般为1)，分母上添加ka(k表示类别总数)，即在这里将所有词的出现数初始化为1，并将分母初始化为2*1=2

#p0Num=ones(numWords);p1Num=ones(numWords)
#p0Denom=2.0;p1Denom=2.0

2)解决下溢出问题

正如上面所述，由于有太多很小的数相乘。计算概率时，由于大部分因子都非常小，最后相乘的结果四舍五入为0,造成下溢出或者得不到准确的结果，所以，我们可以对成绩取自然对数，即求解对数似然概率。这样，可以避免下溢出或者浮点数舍入导致的错误。同时采用自然对数处理不会有任何损失。

#p0Vect=log(p0Num/p0Denom);p1Vect=log(p1Num/p1Denom)

下面是朴素贝叶斯分类函数的代码：

#朴素贝叶斯分类函数
#@vec2Classify:待测试分类的词条向量
#@p0Vec:类别0所有文档中各个词条出现的频数p(wi|c0)
#@p0Vec:类别1所有文档中各个词条出现的频数p(wi|c1)
#@pClass1:类别为1的文档占文档总数比例
def classifyNB(vec2Classify,p0Vec,p1Vec,pClass1):
    #根据朴素贝叶斯分类函数分别计算待分类文档属于类1和类0的概率
    p1=sum(vec2Classify*p1Vec)+log(pClass1)
    p0=sum(vec2Classify*p0Vec)+log(1.0-pClass1)
    if p1>p0:
        return 1
    else:
        return 0

#分类测试整体函数        
def testingNB():
    #由数据集获取文档矩阵和类标签向量
    listOPosts,listClasses=loadDataSet()
    #统计所有文档中出现的词条，存入词条列表
    myVocabList=createVocabList(listOPosts)
    #创建新的列表
    trainMat=[]
    for postinDoc in listOPosts:
        #将每篇文档利用words2Vec函数转为词条向量，存入文档矩阵中
        trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList,postinDoc))\
    #将文档矩阵和类标签向量转为NumPy的数组形式，方便接下来的概率计算
    #调用训练函数，得到相应概率值
    p0V,p1V,pAb=trainNB0(array(trainMat),array(listClasses))
    #测试文档
    testEntry=['love','my','dalmation']
    #将测试文档转为词条向量，并转为NumPy数组的形式
    thisDoc=array(setOfWords2Vec(myVocabList,testEntry))
    #利用贝叶斯分类函数对测试文档进行分类并打印
    print(testEntry,'classified as:',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))
    #第二个测试文档
    testEntry1=['stupid','garbage']
    #同样转为词条向量，并转为NumPy数组的形式
    thisDoc1=array(setOfWords2Vec(myVocabList,testEntry1))
    print(testEntry1,'classified as:',classifyNB(thisDoc1,p0V,p1V,pAb))

三，实例:朴素贝叶斯的另一个应用--过滤垃圾邮件

1 切分数据

对于一个文本字符串，可以使用python的split()方法对文本进行切割，比如字符串'hello, Mr.lee.',分割结果为['hell0,','Mr.lee.'] 这样，标点符合也会被当成词的一部分，因为此种切割方法是基于词与词之间的空格作为分隔符的

此时，我们可以使用正则表达式来切分句子，其中分割符是除单词和数字之外的其他任意字符串，即

　　import re

　　re.compile('\\W*')

这样就得到了一系列词组成的词表，但是里面的空字符串还是需要去掉，此时我们可以通过字符的长度，去掉长度等于0的字符。并且，由于我们是统计某一词是否出现，不考虑其大小写，所有还可以将所有词转为小写字符，即lower(),相应的，转为大写字符为upper()

此外，需要注意的是，由于是URL，因而可能会出现en和py这样的单词。当对URL进行切分时，会得到很多的词，因此在实现时也会过滤掉长度小于3的词。当然，也可以根据自己的实际需要来增加相应的文本解析函数。

2 具体代码如下：

#贝叶斯算法实例：过滤垃圾邮件

#处理数据长字符串
#1 对长字符串进行分割，分隔符为除单词和数字之外的任意符号串
#2 将分割后的字符串中所有的大些字母变成小写lower(),并且只
#保留单词长度大于3的单词
def testParse(bigString):
    import re
    listOfTokens=re.split(r'\W*',bigString)
    return [tok.lower() for tok in listOPosts if len(tok)>2]

def spamTest():
    #新建三个列表
    docList=[];classList=[];fullTest=[]
    #i 由1到26
    for i in range(1,26):
        #打开并读取指定目录下的本文中的长字符串，并进行处理返回
        wordList=testParse(open('email/spam/%d.txt' %i).read())
        #将得到的字符串列表添加到docList
        docList.append(wordList)
        #将字符串列表中的元素添加到fullTest
        fullTest.extend(wordList)
        #类列表添加标签1
        classList.append(1)
        #打开并取得另外一个类别为0的文件，然后进行处理
        wordList=testParse(open('email/ham/&d.txt' %i).read())
        docList.append(wordList)
        fullTest.extend(wordList)
        classList.append(0)
    #将所有邮件中出现的字符串构建成字符串列表
    vocabList=createVocabList(docList)
    #构建一个大小为50的整数列表和一个空列表
    trainingSet=range(50);testSet=[]
    #随机选取1~50中的10个数，作为索引，构建测试集
    for i in range(10):
        #随机选取1~50中的一个整型数
        randIndex=int(random.uniform(0,len(trainingSet)))
        #将选出的数的列表索引值添加到testSet列表中
        testSet.append(trainingSet[randIndex])
        #从整数列表中删除选出的数，防止下次再次选出
        #同时将剩下的作为训练集
        del(trainingSet[randIndex])
    #新建两个列表
    trainMat=[];trainClasses=[]
    #遍历训练集中的吗每个字符串列表
    for docIndex in trainingSet:
        #将字符串列表转为词条向量，然后添加到训练矩阵中
        trainMat.append(setOfWords2Vec(vocabList,fullTest[docIndex]))
        #将该邮件的类标签存入训练类标签列表中
        trainClasses.append(classList[docIndex])
    #计算贝叶斯函数需要的概率值并返回
    p0V,p1V,pSpam=trainNB0(array(trainMat),array(trainClasses))
    errorCount=0
    #遍历测试集中的字符串列表
    for docIndex in testSet:
        #同样将测试集中的字符串列表转为词条向量
        wordVector=setOfWords2Vec(vocabList,docList[docIndex])
        #对测试集中字符串向量进行预测分类，分类结果不等于实际结果
        if classifyNB(array(wordVector),p0V,p1V,pSpam)!=classList[docIndex]：
            errorCount+=1
        print('the error rate is:',float(errorCount)/len(testSet))