（一）二叉树

二叉树指的是每个节点最多只能有两个子树的有序树。

二叉树特点

• 每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
• 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树的分类

• 斜树：左斜树（所有的结点都只有左子树）、右斜树（所有的结点都只有右子树）。
• 满二叉树：1.椰子结点只能出现在最下层。2.非叶子结点的度一定是2。3.同样深度，满二叉树结点个数最多，叶子数最多
• 完全二叉树：编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同

二叉树的存储

• 顺序存储：按照数组模式存储，数组下标从上往下从左往右标注。
• 二叉链表：链表存储，结点数据定义为：左孩子指针--数据域-右孩子指针

二叉树的遍历

• 前序遍历：根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
• 中序遍历：根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
• 后序遍历：根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。
• 层序遍历：按照树的层次自上而下的遍历二叉树。

复杂度问题

空间复杂度：无论是那种遍历方式，都需要一个辅助栈来存储，每个节点都要进栈和出栈，不过是顺序的区别，所以空间复杂度始终为O(n)。
时间复杂度：通过遍历循环的方式获取，足够大时，时间复杂度为O(n)

（二）B树

B树也称B-树,它是一颗多路平衡查找树。M定义节点的分支个数。

特点

• 每个结点最多只有m个子节点。
• 每个结点最多有m-1个关键字。
• 每个非叶子节点（除了根）具有至少⌈ m/2⌉子节点。
• 根节点最少可以只有1个关键字。
• 具有k个子节点的非叶节点包含k -1个键。
• 所有叶子节点都位于同一层，或者说根节点到每个叶子节点的长度都相同。

B树的插入

• 如果该结点元素个数小于m-1，直接插入
• 如果该结点元素个数等于m-1，引起结点分裂，取中间元素（偶数个数，中间两个随机选取），插入到父节点中
• 重复之前操作，直到所有节点符合B树的规则。

B树的删除

• 1.如果删除的是叶子结点的元素，且删除之后还是大于m/2，则直接删除
• 2.如果删除的是叶子结点的元素，但是删除之后小于m/2，如果兄弟结点借元素之后，兄弟结点仍满足大于m/2，则将父节点的元素移到该结点，将兄弟结点的元素移动到父节点。
• 3.如果删除的是叶子结点的元素，但是删除之后小于m/2，如果兄弟结点借元素之后，兄弟结点借完之后都不满足大于m/2，则需要将父节点的元素移到该结点，然后跟兄弟结点合并。
• 4.如果删除的是非叶子结点，需要将后继key覆盖要删除的key，将后继key所在子支删除，继续判断该结点是否满足m/2，如果满足就删除完成，如果不满足，且子支为非叶子结点，继续步骤4，如果子支为叶子结点，则走2和3.

复杂度问题

B树的复杂度和B+树类似，统一到B+树中讨论。

B+树

B+树其实就是对B树的改造。

特点

• 根节点至少一个元素
• 非根节点元素范围为：m/2 <= k <= m-1
• B+树有两种类型的节点：内部结点（也称索引结点）和叶子结点。内部节点就是非叶子节点，内部节点不存储数据，只存储索引，数据都存储在叶子节点。
• 内部结点中的key都按照从小到大的顺序排列，对于内部结点中的一个key，左树中的所有key都小于它，右子树中的key都大于等于它。叶子结点中的记录也按照key的大小排列。
• 每个叶子结点都存有相邻叶子结点的指针，叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
• 父节点存有右孩子的第一个元素的索引。

B+树的插入

• 1.如果结点中元素小于m-1，则直接插入。
• 2.如果插入结点之后大于m-1，则将原有结点分裂成两个，如果父节点不存在，则创建内部节点，存储右孩子结点第一个元素的索引，将数据插入对应的结点，分裂的两个结点指针相连。
• 3.分裂成两个，如果父节点存在，则将右孩子结点的第一个元素的索引，插入父节点。
• 3.当父节点达到m时，将右孩子结点的第一个元素的索引用来创建父节点，原父节点分裂，分别存储右孩子结点的第一个索引。

B+树的删除

删除操作因为有指针的存在，就不需要通过父节点了，直接通过兄弟结点移动即可。然后更新父节点的索引。
删除步骤同B树借元素的逻辑。删除后不足借兄弟结点的元素，修改父节点的索引，不足时进行合并，更新父节点索引。

B+树的时间复杂度

假设一个含有N个值，阶为n的B+树。
很显然，查询需要按照树结构从上往下查询，当树越高，查询的复杂度越高，也就是当分叉最少的时候，即只分为两叉时，复杂度越高。
而每个节点的数值为：n/2 <= k <= n-1，同时，二叉的结构，又将数分成了两颗子树，得到以下公式：(n/2)^h >=N/2;
意思是，每个节点有至少n/2个选择对应下一个节点，共有h次这样的选择，因此，时间复杂度为O(log N).

B+树在mysql中的使用

主键索引

联合索引

叶子结点最后存储的是主键，因为联合索引是非聚簇索引

2-3树

红黑树

红黑树，Red-Black Tree 「RBT」是一个自平衡(不是绝对的平衡)的二叉查找树(BST)，

特点

• 1.每个节点都有红色或黑色
• 2.树的根始终是黑色的 。
• 3.没有两个相邻的红色节点（红色节点不能有红色父节点或红色子节点，并没有说不能出现连续的黑色节点）
• 4.从节点（包括根）到其任何后代NULL节点(叶子结点下方挂的两个空节点，并且认为他们是黑色的)的每条路径都具有相同数量的黑色节点
• 5.每个叶子结点null为黑色

红黑树的插入

• 1.插入数字，如果是root节点，则标记为黑色
• 2.插入数字，父节点为根结点，则标记为红色
• 3.插入数字，新节点的父节点为红色。此时因为不允许有两个连续的红色结点，所以需要调整：
  • 3.1.父节点的兄弟结点为红色，则将父节点和父节点的兄弟结点标为黑色，并将祖先结点标为红色，此时，需要判断祖先结点的父节点属性。
  • 3.2.父节点的兄弟结点为黑色，此时又分为几种情况：
    • 3.2.1.若新插入节点为父节点的左孩子，则将父节点标为黑色，祖先节点标为红色，对祖先节点进行右旋。
    • 3.2.2.若新插入节点为父节点的右孩子，则将父节点进行左旋，这样就又变成了3.2.1中的左孩子问题。

红黑树的删除

• 1.被删除的节点的两个孩子都为NIL

  • 1.1.如果删除的节点为红色，则直接删除
  • 1.2.如果删除的节点为黑色
    • 1.2.1.如果删除节点的兄弟节点两个孩子结点都为NIL，则删除该节点，并将兄弟节点标为红色，且父节点标为黑色。
    • 1.2.2.如果删除节点的兄弟节点有一个孩子结点为NIL，一个孩子结点不为NIL
      • 1.2.2.1.当不为NIL的孩子节点为右孩子时，将该孩子节点标为黑色，兄弟节点标为和父节点相同的颜色，父节点标为黑色，在根据父节点进行一次左旋
      • 1.2.2.2.当不为NIL的孩子节点为左孩子时，将该孩子节点标为黑色，兄弟节点标为红色，以兄弟节点进行一次右旋，转为右孩子的情况，将右孩子标为和父节点相同的颜色，父节点标为黑色，兄弟节点表为黑色，再以父节点进行左旋。
    • 1.2.3.如果删除节点的兄弟节点两个孩子都不为NIL。
      • 1.2.3.1.如果兄弟节点为黑色，则两个孩子节点一定为红色，此时，将兄弟节点的右孩子节点标为黑色，将兄弟节点标为和父节点相同的颜色，将父节点标为黑色，并将兄弟节点的左孩子节点放到父节点的右孩子节点上，以父节点进行左旋。
      • 1.2.3.2.如果兄弟节点为红色，则两个孩子节点一定为黑色，此时，将兄弟节点标为黑色，兄弟节点的左孩子节点标为红色，将兄弟节点的左孩子放到父节点的右孩子节点上，已父节点进行左旋。

• 2.删除节点的两个孩子都不为NIL
  按照二叉查找树删除节点的方法找到D的后继节点S，交换D和S的内容（颜色保持不变），被删除节点变为S，如果S有不为NIL的节点，那么继续用S的后继节点替换S，直到被删除节点的两个孩子都为NIL，问题转化为被删除节点D的两个孩子都为NIL的情况。

• 3.删除节点有一个孩子节点为NIL
  这个孩子节点一定是红色，此时，用这个孩子节点替换删除的节点。

树之间的比较

B树和B+树

• 1.B+树数据存储在叶子结点，B树数据存储在各结点上，B+树单一结点存储的元素更多，使得IO次数更少。
• 2.B+树查询的数据都在叶子结点，B树各结点都有可能。B+树更稳定。
• 3.B+树所有的叶子结点形成了一个有序链表，查询更快。