刚体运动学（6）：有限与无限微小转动

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 有限转动

为了寻找一种用转动参量（转动角度、方向余弦）表示的坐标变换表征，让我们先考虑顺时针方向的主动有限旋转。

如上图所示，矢量 $\mathbf{r}$ 顺时针经过有限角度 $\Phi$ 后变成了矢量 $\mathbf{r}^{\prime}$ 。

将 $\mathbf{n}$ 定义为沿转轴 $\vec{ON}$ 方向的单位矢量，不难得出

$\vec{ON} = (\rm{proj}_{\mathbf{n}}\mathbf{r})\mathbf{n} = (\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n})\mathbf{n}\\$

根据一些简单的几何关系，其它的矢量也可使用 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{n}$ 一并表示：

$\vec{NP} = \vec{OP} - \vec{ON} = \mathbf{r} - (\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n})\mathbf{n}\\$

$\vec{NV} = ||\vec{NQ}||\cos\Phi \;\hat{NP} = [ \mathbf{r} - (\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{n})\mathbf{n}]\cos\Phi \\$

$\vec{VQ} = ||\vec{NQ}||\sin\Phi\; \hat{(\mathbf{r} \times \mathbf{n})} = (\mathbf{r} \times \mathbf{n})\sin\Phi\\$

于是，转动后的矢量 $\mathbf{r}^{\prime}$ 可表示为

$\begin{align*}\mathbf{r}^{\prime} = \vec{ON} + \vec{NV} + \vec{VQ}\\\end{align*}\\$

代入相关量后可以得到

$\boxed{\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{n}(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r})(1 - \cos\Phi) + \mathbf{r}\cos\Phi + (\mathbf{r} \times \mathbf{n}) \sin\Phi}\\$

这是有限角度的矢量转动公式（rotation formula），对任何旋转皆有效，无论角度多大。

$\bullet$ 转动角度 $\Phi$ 与欧拉角之间的关系可以通过考虑转动算子的迹在变换前后均不变得到：

$\begin{align*}1 + 2\cos\Phi + 1 &= 1 + \cos\theta + \cos\psi\cos\phi - \sin\psi\sin\phi \\ & \quad + \cos\theta\cos\Phi\cos\psi - \cos\theta\sin\phi\sin\psi\end{align*}\\$

$\implies \cos^2\frac{\Phi}{2} = \cos^2\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\phi + \psi}{2}\\$

由于当 $\Phi \rightarrow 0$ ， $\theta,\phi,\psi \rightarrow 0$ ，去平方后等式右边为正，所以

$\boxed{\cos\frac{\Phi}{2} = \cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\phi + \psi}{2}}\\$

$\rm{\mathbf{I\!I.}}$ 无限微小转动

因为存在多次不同转动的变换矩阵是由矩阵乘法连接，矩阵乘法运算不具有对易性，因此，除了此时的转动为无穷小的情况，转动变换是通常无法使用矢量来表征的。

考虑被动转动变换（顺时针），转动角度取无穷小，变换前后矢量的坐标的变化仅保留到一阶小量：

$x_1^{\prime} = x_1 + \epsilon_{11}x_1 + \epsilon_{12}x_2 + \epsilon_{13}x_3\\...$

抽象指标形式

$x_i^{\prime} = x_i + \epsilon_{ij}x_j = (\delta_{ij} + \epsilon_{ij})x_j\\$

矩阵形式

$\mathbf{x}^{\prime} = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon})\mathbf{x}\\$

其中 $\boldsymbol{\epsilon}$ 是无穷小算子

$\bullet$ 微小转动的情况不受矩阵乘法运算不对易问题的影响，因为矩阵加法具有对易性，所以现在矩阵 $\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}$ 对易：

$(\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_1)(\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_2) = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_2)(\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_1) = \rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_2 + \boldsymbol{\epsilon}_1 = \rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}_2 + \boldsymbol{\epsilon}_1\\$

所以微小转动算子可以用矢量来表征。

（例）使用泰勒展开并只保留一阶项，可以得到含欧拉角的无限微小转动矩阵

$\rm{R} = \begin{bmatrix}1 & (d\phi + d\psi) & 0\\-(d\phi + d\psi) & 1 & d\theta\\0 & -d\theta &1\end{bmatrix} \\$

根据刚体运动学（5），将 $\lambda = 1$ 代入本征方程，可以得到关于转轴的方向余弦

$\begin{align*}(\rm{R} - \rm{I})d\mathbf{\Omega} &= \mathbf{0}\\\boldsymbol{\epsilon} d\mathbf{\Omega} &= \mathbf{0}\end{align*}\\$

$\begin{bmatrix}1 & (d\phi + d\psi) & 0\\-(d\phi + d\psi) & 1 & d\theta\\0 & -d\theta &1\end{bmatrix} \begin{pmatrix}d\Omega_1\\ d\Omega_2\\ d\Omega_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\$

取 $d\Omega_3 = d\phi + d\psi$ ，解得

$d\mathbf{\Omega} = \begin{pmatrix}d\theta\\ 0\\ d\phi + d\psi \end{pmatrix} \\$

$\implies d\mathbf{\Omega} = \mathbf{i}d\theta + \mathbf{k}(d\phi + d\psi)\\$

$\bullet$ 矩阵 $\rm{R} = \rm{I} + \boldsymbol{\epsilon}$ 的逆矩阵

$\rm{R}^{-1} = \rm{I} - \boldsymbol{\epsilon}\\$

证明很简单：

$\begin{align*}\rm{R}\rm{R}^{-1} &= (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon})(\rm{I} - \boldsymbol{\epsilon})\\&= \rm{I}^2 - I\boldsymbol{\epsilon} + \boldsymbol{\epsilon}\rm{I}\\&= \rm{I} \end{align*}\\$

根据 $\rm{R}$ 的正交性，

$\rm{R}^t = \rm{R}^{-1}\\$

$\rm{R}^t = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon})^t = \rm{I} + \epsilon^t = \rm{R}^{-1} = \rm{I} - \boldsymbol{\epsilon}\\$

$\implies \boldsymbol{\epsilon}^t = -\boldsymbol{\epsilon}\\$

可见，无穷小算子 $\boldsymbol{\epsilon}$ 是一个反对称矩阵

$\epsilon_{ij} = -\epsilon_{ji}\\$

若 $i = j$ ，反对称矩阵的对角元必须为零。

若 $i \neq j$ ，总共可以有 $\frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ 个不同的矩阵元，不妨将无穷小算子记为如下形式：

$\boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix}0 & d\Omega_3 & -d\Omega_2\\ -d\Omega_3 & 0 & d\Omega_1\\ d\Omega_2 & -d\Omega_1 & 0\end{bmatrix}\\$

$\bullet$ 物理量 $d\Omega_1$ ， $d\Omega_2$ ， $d\Omega_3$ 组成矢量

$d\boldsymbol{\Omega} = \begin{pmatrix}d\Omega_1\\ d\Omega_2\\ d\Omega_3 \end{pmatrix}\\$

对于位矢的无限微小转动

$\mathbf{r}^{\prime} = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon})\mathbf{r}\\$

定义位矢在参考系的微小转动下坐标的变化 $\mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{r} \equiv d\mathbf{r}^{\prime}$

$d\mathbf{r}^{\prime} = \boldsymbol{\epsilon}\mathbf{r}\\$

$\begin{align*}dx_1 &= x_2d\Omega_3 - x_3d\Omega_2\\dx_2 &= x_3d\Omega_1 - x_1d\Omega_3\\dx_3 &= x_1d\Omega_2 - x_2d\Omega_1 \end{align*}\\$

可见，等式右侧可表示为两个矢量的叉乘

$\boxed{d\mathbf{r} = \mathbf{r} \times d\boldsymbol{\Omega}}\\$

$\bullet$ 位矢 $\mathbf{r}$ 的正交变换为

$x_{i}^{\prime} = a_{ij} x_j\\$

矢量 $d\boldsymbol{\Omega}$ 的正交变换与位矢 $\mathbf{r}$ 的变换在形式上相似，

$d\Omega_i^{\prime} = |\rm{B}|b_{ij}d\Omega_j\\$

其中 $|\rm{B}|$ 为变换矩阵 $\rm{B}$ 的行列式。

$\bullet$ 矢量 $d\mathbf{\Omega}$ 的特征可从有限转动公式得到。

$\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{n}(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r})(1 - \cos\Phi) + \mathbf{r}\cos\Phi + (\mathbf{r} \times \mathbf{n}) \sin\Phi \\$

在无限微小极限下，角度 $\Phi \rightarrow d\Phi$ ， $\cos\Phi \rightarrow 1$ ， $\sin\Phi \rightarrow d\Phi$ ，转动公式变为

$\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{r} + (\mathbf{r} \times \mathbf{n})d\Phi\\$

于是

$d\mathbf{r} = \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{r} = \mathbf{r} \times \mathbf{n} \;d\Phi\\$

$\implies \boxed{d\mathbf{\Omega} = \mathbf{n}\;d\Phi}\\$

可见，矢量 $d\mathbf{\Omega}$ 总是沿转轴方向。

$\bullet$ 三维坐标反演矩阵通常具有形式 $S_{ij} = -\delta_{ij} \quad (i,j = 1,2,3)$

$\rm{S} = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0& 0 & -1\end{bmatrix}\\$

根据矢量在坐标反演下表现出的不同性质，可将矢量分为极矢量（polar vector）和轴矢量/伪矢量（axial vector/pseudo-vector）

（1）极矢量是变换形如

$d\mathbf{r} = \mathbf{r} \times d\boldsymbol{\Omega}\\$

这一类的矢量。大部分矢量，如位矢及其关于时间的微商等均属于极矢量。极矢量在坐标反演下会改变符号。

设宇称算子为 $\rm{P}$ ，它执行坐标反演

$x \rightarrow -x,\quad y \rightarrow -y,\quad z \rightarrow -z\\$

那么对于极矢量 $\mathbf{V}$ ，则有

$\rm{P}\mathbf{V} = -\mathbf{V}\\$

（2）最简单的一类伪矢量由两个极矢量的叉乘产生：

$\mathbf{V}^{\ast} = \mathbf{D} \times \mathbf{F}\\$

而

$\mathbf{V}_i^{\ast} = D_jF_k - F_jD_k\\$

可见，伪矢量在反演下不改变符号

$\rm{P}\mathbf{V}^{\ast} = \mathbf{V}^{\ast}\\$

$\bullet$ 伪矢量的变换遵循

$v_i^{\prime} = |\rm{B}|b_{ij}v_j\\$

根据刚体运动学（2），正交矩阵的行列式 $|\rm{B}| = \pm 1$ 。

如果是常规正交变换， $|\rm{B}| = 1$ ，

$v_i^{\prime} = b_{ij}v_j\\$

那么极矢量与伪矢量的变换具有相同形式。

刚才提到过，矢量 $d\mathbf{\Omega}$ 遵循上述变换规律，所以是一个伪矢量。

$\bullet$ 对于两种矢量的点积，有

$\rm{P}(\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}^{\ast}) = -(\mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}^{\ast})\\$

所以对于标量，我们同样可以沿用定义，将变换方式形如

$\rm{P}S^{\ast} = -S^{\ast} \\$

的标量称为伪标量（pseudo-vector）

一个伪标量与一般标量的乘积仍是一个伪标量

$\rm{P}(SS^{\ast}) = -SS^{\ast}\\$

一个伪标量与伪矢量的乘积是一个极矢量

$\rm{P}(S^{\ast}\mathbf{V}^{\ast}) = -(S^{\ast}\mathbf{V}^{\ast})\\$

$\bullet$ 从下列关系也可以证明 $d\mathbf{\Omega}$ 是一个伪矢量：

由于 $\mathbf{r},d\mathbf{r}$ 均为极矢，

$d\mathbf{r} = \mathbf{r} \times d\boldsymbol{\Omega}\\$

$\implies d\mathbf{\Omega} = d\mathbf{r} \times \mathbf{r}\\$

符合伪矢量的定义。

$\mathrm{\mathbf{I\!I\!I.}}$ 记号

$\bullet$ 由于许多表达式涉及到两个矢量间的叉乘积，为了方便表示，引入置换符号（permutation symbol）/列维齐维塔密度（Levi-Civita density）

$e_{ijk} = \begin{cases}+1 & \text{偶次置换};\\-1 & \text{奇次置换}; \\0 & \text{其它}\end{cases}\\$

在张量分析中，由于置换符号并非严格遵循张量变换（这里主要指正交变换）但具有相似形式，人们将其称为相对张量（relative tensor），比如矢量 $d\mathbf{\Omega}$ 就是一个一阶相对张量。

著名的列维齐维塔符号（Levi-Civita symbol）是一个绝对张量（absolute tensor），二者之间的关系为

$\varepsilon_{ijk} = \sqrt{|\mathbf{g}|}\;e_{ijk}\\$

其中 $\sqrt{|\mathbf{g}|}$ 是体积元（volume element）。

使用置换符号，两个矢量 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 的叉乘可以表示为

$C_{i} = e_{ijk}A_jB_k\\$

$\mathrm{\mathbf{I\!V.}}$ 总结

接下来是逆时针方向的主动转动变换的公式总结。

$\bullet$ 转动公式

$\mathbf{r}^{\prime} = \mathbf{r}\cos\Phi + \mathbf{n}(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r})(1 - \cos\Phi) + (\mathbf{n} \times \mathbf{r}) \sin\Phi\\$

（注意与顺时针转动公式的区别）

$\bullet$ 无限小转动： $\sin\Phi \rightarrow d\Phi$ ， $\cos\Phi \rightarrow 1$ ， $d\mathbf{r}^{\prime} \equiv \mathbf{r}^{\prime} - \mathbf{r}$

$d\mathbf{r}^{\prime} = (\mathbf{n}\;d\Phi)\times \mathbf{r} = d\mathbf{\Omega} \times \mathbf{r} \\$

$\bullet$ 无限小算子 $\boldsymbol{\epsilon}$ 为反对称矩阵，使用关系 $d\Omega_i = n_i \;d\Phi$ ，可将其表示为

$\boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix}0 & -d\Omega_3 & d\Omega_2\\d\Omega_3 & 0 & -d\Omega_1\\-d\Omega_2 & d\Omega_1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & -n_3 & n_2\\n_3 & 0 & -n_1\\-n_2 & n_1 & 0\end{bmatrix}d\Phi \\$

对于无限小转动变换， $\mathbf{r}^{\prime} = (\rm{I} + \boldsymbol{\epsilon} )\mathbf{r}$ ，

$d\mathbf{r} = \boldsymbol{\epsilon}\mathbf{r} = \begin{bmatrix}0 & -n_3 & n_2\\n_3 & 0 & -n_1\\-n_2 & n_1 & 0\end{bmatrix}d\Phi \;\mathbf{r}\\$

$\implies \frac{d\mathbf{r}} {d\Phi} = -\rm{N}\mathbf{r}\\$

其中 $\rm{N}$ 是一个反对称矩阵， $N_{ij} = e_{ijk}n_k$

$\rm{N} = \begin{bmatrix}0 & n_3 & -n_2\\-n_3 & 0 & n_1\\n_2 & -n_1 & 0\end{bmatrix}\\$

$\bullet$ 另一种比较有用的表征为

$\boldsymbol{\epsilon} = n_i \mathbf{M}_i \;d\Phi \\$

其中 $\mathbf{M}_i$ 是无限小转动生成算子（infinitesimal rotation generator），它们分别为

$\mathbf{M}_1 = \begin{bmatrix}0& 0& 0\\0&0&-1\\0&1& 0\end{bmatrix}$ ， $\mathbf{M}_2 = \begin{bmatrix}0& 0& 1\\0&0&0\\-1&0& 0\end{bmatrix}$ ， $\mathbf{M}_3 = \begin{bmatrix}0& -1& 0\\1&0&0\\0&0& 0\end{bmatrix}$

这些生成算子之间具有性质

$\mathbf{M}_i\mathbf{M}_j - \mathbf{M}_j\mathbf{M}_i \equiv \left[ \mathbf{M}_i, \mathbf{M}_j\right] = e_{ijk}\mathbf{M}_k\\$

对易子 $\left[ \mathbf{M}_i, \mathbf{M}_j\right]$ 也属于李括号（Lie bracket），因此用来定义含转动参量的旋转群群的李代数。

最后编辑于：2020.03.12 00:15:12

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