1周学FFT——第1天离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）常用来处理采样得到的电压、电流信号，以便获得其频域特性。

原始信号由 $x(t)$ 描述。

采样动作由单位脉冲序列描述：

$\delta (n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}{\delta(n-m\Delta t)} \quad m=0, \pm 1, \pm 2, ...$

式中 $\Delta t$ 为采样间隔。

采样之后得到离散序列[从玉良，2009，p12]：

$x_{\infty}(n) = x(t)\delta(n) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}{x(m\Delta t)\delta(n-m\Delta t)} \quad m=0, \pm 1, \pm 2, ...$

连续信号、单位采样序列、离散序列示意图

截断之后得到有限长（N点）离散序列：

$x(n) = x(t)\delta(n) \quad n = 0, 1, 2, ..., N-1$

截断后的离散序列（10点）

$x(n)$ 的离散傅里叶变换是一个长为N的频域有限长序列（ $0\le k \le N-1$ ），其正变换为：

$X(k) = \text{DFT}[x(n)] = \sum_{n=0}^{N-1}{x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}} = \sum_{n=0}^{N-1}{x(n)W_N^{nk}} \quad k=0,1, ..., N-1$

其反变换为：

$x(n) = \text{IDFT}[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}nk}} = \sum_{k=0}^{N-1}{X(k)W_N^{-nk}} \quad k=0,1, ..., N-1$

其中 $W_N = e^{-j\frac{2\pi}{N}}$ 。

习题：

假设一个连续信号为 $x(t) = \text{sin}(2\pi t) + 2\text{sin}(4\pi t)$ 。尝试编写matlab脚本程序，对 $x(t)$ 进行离散化采样，采样频率8Hz，输出序列为 $x(n)$ ，并绘制 $x(t)$ 和 $x(n)$ 。

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