2021年全国统一高考理科卷（乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

(5分) 设 $2(z+\bar{z})+3(z-\bar{z})=4+6 i$ , 则 $z=(\quad)$
A. $1-2 i$
B. $1+2 i$
C. $1+i$
D. $1-i$
(5分) 已知集合 $S =\{s \mid s=4 n+1, n \in \mathbf{Z}\}$ , $T= \{t \mid t=4 n+1, n \in \mathbf{Z}\}$ , 则 $S \cap T=(\quad)$
A. $\emptyset$
B. $S$
C. $T$
D. $Z$
(5分) 已知命题 $p: \exists x \in \mathbf{R}, \sin x 1$ ; 命题 $q: \forall x \in R$ , $e^{\left| x\right| }\geq 1$ , 则下列命题中为真命题的是 ( )
A. $p \wedge q$
B. $\neg p \wedge q$
C. $p \wedge \neg q$
D. $\neg \left( p\vee q\right)$
(5分) 设函数 $f(x)=\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}$ , 则下列函数中为奇函数的是 ( )
A. $f(x-1)-1$
B. $f(x-1)+1$
C. $f(x+1)-1$
D. $f(x+1)+1$
(5 分) 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点, 则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为 ( )
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{6}$
(5 分) 将 5 名北京冬奥会志原者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壸 4 个项目进行培训, 每名志原者只分配到 1 个项目, 每个项目至少分配 1 名志原者, 则不同的分配方案共有 ( )
A. 60 种
B. 120 种
C. 240 种
D. 480 种
(5 分) 把函数 $y=f(x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度, 得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图像, 则 $f(x)=()$
A. $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{7 \pi}{12}\right)$
B. $\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)$
C. $\sin \left(2 x-\frac{7 \pi}{12}\right)$
D. $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{12}\right)$
(5 分) 在区间 $(0,1)$ 与 $(1,2)$ 中各随机取 1 个数, 则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为 $(\quad)$
A. $\frac{7}{9}$
B. $\frac{23}{32}$
C. $\frac{9}{32}$
D. $\frac{2}{9}$
(5 分) 魏晋时期刘澂撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量海岛的高. 如图, 点 $E, H, G$ 在水平线 $A C$ 上, $D E$ 和 $F G$ 是两个垂直于水平面且等高的测鲤标杆的高度, 称为 “表高”, $E G$ 称为“表距”, $G C$ 和 $E H$ 都称为“表目距”, $G C$ 与 $E H$ 的差称为“表目距的差”,则海岛的高 $A B=(\quad)$

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A. $\dfrac{表高 \times 表距 }{表目距的差} + 表高$
B. $\dfrac{表高 \times 表距 }{表目距的差} - 表高$
C. $\dfrac{表高 \times 表距 }{表目距的差} + 表距$
D. $\dfrac{表高 \times 表距 }{表目距的差} - 表距$
(5 分) 设 $a \neq 0$ , 若 $x=a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点, 则 ( )
$A. a<b$ $B. a>b$ $C. a b< a^{2}$ $D. a b>a^{2}$
(5 分) 设 B 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点, 若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|P B| \leqslant 2 b$ , 则 $C$ 的离心率的取值范围是（）
A. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$
B. $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
C. $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
D. $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
(5分) 设 $a=2 \ln 1.01, b=\ln 1.02, c=\sqrt{1.04}-1$ , 则 ( )
$A. a<b<c$
$B. b<c<a$
$C. b<a<c$
$D. c<a<b$

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(5 分) 已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{\mathrm{~m}}-y^{2}=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+m y=0$ , 则 $C$ 的焦距为_______.
(5 分) 已知向量 $\vec{a}=(1,3), \vec{b}=(3,4)$ , 若 $(\vec{a}-\lambda \vec{b}) \perp \vec{b}$ , 则 $\lambda=$ __________ .
(5 分) 记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ , 面积为 $\sqrt{3}, B=60^{\circ}, a^{2}+c^{2}=3 a c$ , 则 $b =$ _____________.
(5 分) 以图①为正视图, 在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图, 组成某个三棱雉的三视图, 则所选侧视图和俯视图的编号依次为_______________ (写出符合要求的一组答案即可).

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17.(12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

设备类型	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.1	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\overline{\mathrm{x}}$ 和 $\overline{\mathrm{y}}$ , 样本方差分别记为 $s_{1}^{2}$ 和 $s_{2}^{2}$ 。
（1）求 $\overline{\mathrm{x}}, \overline{\mathrm{y}}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2} ;$
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 $\overline{\mathrm{y}}-\overline{\mathrm{x}} \geqslant 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{10}}$ , 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高, 否则不认为有显著提高)。

(12 分) 如图, 四棱锥 $P-A B C D$ 的底面是矩形, $P D \perp$ 底面 $A B C D, P D=D C=1$ , $M$ 为 $B C$ 中点, 且 $P B \perp A M$ .
(1) 求 $B C$ ；
(2)求二面角 $A-P M-B$ 的正弦值。

18题附图

(12 分) 记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, $b_{n}$ 为数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项积, 已知 $\frac{2}{S_{\mathrm{n}}}+\frac{1}{\mathrm{~b}_{\mathrm{n}}}=2$ 。
(1) 证明: 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列;
(2) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式.
(12 分) 已知函数 $f(x)=\ln (a-x)$ , 已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点.
(1) 求 $a$ ;
(2) 设函数 $g(x)=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{xf}(\mathrm{x})}$ . 证明: $g(x)<1$ .
(12 分) 已知抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ , 且 $F$ 与圆 $M: x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 上点的距离的最小值为 4 .
(1) 求 $p$ ;
(2) 若点 $P$ 在 $M$ 上, $P A, P B$ 为 $C$ 的两条切线, $A, B$ 是切点, 求 $\triangle P A B$ 面积的最大值.

（二）选考题 : 共 10 分。请考生在第 2 2 、 2 3 题中任选一题作答。如果多做 ,则按所做第1题计分。

【选修 4-4: 坐标系与参数方桯】(10 分)

(10 分) 在直角坐标系 $x O y$ 中, $\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ , 半径为 1 .
(1) 写出 $\odot C$ 的一个参数方程;
(2) 过点 $F(4,1)$ 作 $\odot C$ 的两条切线. 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线的极坐标方程.