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主成分分析实例：一个平均值为(1, 3)、标准差在(0.878, 0.478)方向上为3、在其正交方向为1的高斯分布。这里以黑色显示的两个向量是这个分布的协方差矩阵的特征向量，其长度按对应的特征值之平方根为比例，并且移动到以原分布的平均值为原点。

在多元统计分析中，主成分分析（英语：Principal components analysis，PCA）是一种分析、简化数据集的技术。主成分分析经常用于减少数据集的维数，同时保持数据集中的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。由于主成分分析依赖所给数据，所以数据的准确性对分析结果影响很大。

主成分分析由卡尔·皮尔逊于1901年发明，用于分析数据及建立数理模型。其方法主要是通过对协方差矩阵进行特征分解，以得出数据的主成分（即特征向量）与它们的权值（即特征值^[3]）。PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。其结果可以理解为对原数据中的方差做出解释：哪一个方向上的数据值对方差的影响最大？换而言之，PCA提供了一种降低数据维度的有效办法；如果分析者在原数据中除掉最小的特征值所对应的成分，那么所得的低维度数据必定是最优化的（也即，这样降低维度必定是失去讯息最少的方法）。主成分分析在分析复杂数据时尤为有用，比如人脸识别。

PCA是最简单的以特征量分析多元统计分布的方法。通常情况下，这种运算可以被看作是揭露数据的内部结构，从而更好的解释数据的变量的方法。如果一个多元数据集能够在一个高维数据空间坐标系中被显现出来，那么PCA就能够提供一幅比较低维度的图像，这幅图像即为在讯息最多的点上原对象的一个‘投影’。这样就可以利用少量的主成分使得数据的维度降低了。

PCA跟因子分析密切相关，并且已经有很多混合这两种分析的统计包。而真实要素分析则是假定底层结构，求得微小差异矩阵的特征向量。

PCA，Principle Component Analysis，即主成分分析法，是特征降维的最常用手段。顾名思义，PCA 能从冗余特征中提取主要成分，在不太损失模型质量的情况下，提升了模型训练速度。

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如上图所示，我们将样本到红色向量的距离称作是投影误差（Projection Error）。以二维投影到一维为例，PCA 就是要找寻一条直线，使得各个特征的投影误差足够小，这样才能尽可能的保留原特征具有的信息。

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因为PCA仅保留了特征的主成分，所以PCA是一种有损的压缩方式.

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降到多少维才合适？

从 PCA 的执行流程中，我们知道，需要为 PCA 指定目的维度 k 。如果降维不多，则性能提升不大；如果目标维度太小，则又丢失了许多信息。

不要提前优化

由于 PCA 减小了特征维度，因而也有可能带来过拟合的问题。PCA 不是必须的，在机器学习中，一定谨记不要提前优化，只有当算法运行效率不尽如如人意时，再考虑使用 PCA 或者其他特征降维手段来提升训练速度。

不只是加速学习

降低特征维度不只能加速模型的训练速度，还能帮我们在低维空间分析数据，例如，一个在三维空间完成的聚类问题，我们可以通过 PCA 将特征降低到二维平面进行可视化分析。

项目实战：利用 PCA 对葡萄酒分类

根据 13 个特征对葡萄酒分类（推销给不同品味的人），利用 PCA ，可以将数据从 13 维降到 2 维进行可视化。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

# 导入数据
dataset = pd.read_csv('Wine.csv')
X = dataset.iloc[:, :-1].values
y = dataset.iloc[:, 13].values

dataset.head(10)

# 分成训练集与测试集
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size = 0.2, random_state = 0)
X_train[:3]

array([[1.369e+01, 3.260e+00, 2.540e+00, 2.000e+01, 1.070e+02, 1.830e+00,
5.600e-01, 5.000e-01, 8.000e-01, 5.880e+00, 9.600e-01, 1.820e+00,
6.800e+02],
[1.269e+01, 1.530e+00, 2.260e+00, 2.070e+01, 8.000e+01, 1.380e+00,
1.460e+00, 5.800e-01, 1.620e+00, 3.050e+00, 9.600e-01, 2.060e+00,
4.950e+02],
[1.162e+01, 1.990e+00, 2.280e+00, 1.800e+01, 9.800e+01, 3.020e+00,
2.260e+00, 1.700e-01, 1.350e+00, 3.250e+00, 1.160e+00, 2.960e+00,
3.450e+02]])

# 特征缩放
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
sc = StandardScaler()
X_train = sc.fit_transform(X_train)
X_test = sc.transform(X_test)
X_train[:3]

array([[ 0.87668336, 0.79842885, 0.64412971, 0.12974277, 0.48853231,
-0.70326216, -1.42846826, 1.0724566 , -1.36820277, 0.35193216,
0.0290166 , -1.06412236, -0.2059076 ],
[-0.36659076, -0.7581304 , -0.39779858, 0.33380024, -1.41302392,
-1.44153145, -0.5029981 , 1.70109989, 0.02366802, -0.84114577,
0.0290166 , -0.73083231, -0.81704676],
[-1.69689407, -0.34424759, -0.32337513, -0.45327855, -0.14531976,
1.24904997, 0.31964204, -1.52069698, -0.4346309 , -0.75682931,
0.90197362, 0.51900537, -1.31256499]])

# 测试 PCA
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components = None)
X_train = pca.fit_transform(X_train)
X_test = pca.transform(X_test)
# explained_variance_ratio_，它代表降维后的各主成分的方差值占总方差值的比例，这个比例越大，则越是重要的主成分。
explained_variance = pca.explained_variance_ratio_
explained_variance 

array([0.36884109, 0.19318394, 0.10752862, 0.07421996, 0.06245904,
0.04909 , 0.04117287, 0.02495984, 0.02308855, 0.01864124,
0.01731766, 0.01252785, 0.00696933])

# 这里取前 2 个主成分，它可以解释  (0.3688+0.1931)  的方差
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components = 2)
X_train = pca.fit_transform(X_train)
X_test = pca.transform(X_test)
explained_variance = pca.explained_variance_ratio_

print(explained_variance)
X_train[:3]

[0.36884109 0.19318394]

array([[-2.17884511, -1.07218467],
[-1.80819239, 1.57822344],
[ 1.09829474, 2.22124345]])

# 逻辑回归拟合训练集
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
classifier = LogisticRegression(random_state = 0)
classifier.fit(X_train, y_train)

LogisticRegression(C=1.0, class_weight=None, dual=False, fit_intercept=True,
intercept_scaling=1, max_iter=100, multi_class='ovr', n_jobs=1,
penalty='l2', random_state=0, solver='liblinear', tol=0.0001,
verbose=0, warm_start=False)

# 预测测试集
y_pred = classifier.predict(X_test)
y_pred[:5]

array([1, 3, 2, 1, 2])

# 混淆矩阵
from sklearn.metrics import confusion_matrix
cm = confusion_matrix(y_test, y_pred)
cm 

array([[14, 0, 0],
[ 1, 15, 0],
[ 0, 0, 6]])

# 预测正确的为正对角线的值，准确率为 (14+15+6) / (14+15+6+1)
print("准确率(精度)为 :", (14+15+6)/(14+15+6+1))

准确率(精度)为 : 0.9722222222222222

# 可视化训练集 
from matplotlib.colors import ListedColormap
X_set, y_set = X_train, y_train
X1, X2 = np.meshgrid(np.arange(start = X_set[:, 0].min() - 1, stop = X_set[:, 0].max() + 1, step = 0.01),
                     np.arange(start = X_set[:, 1].min() - 1, stop = X_set[:, 1].max() + 1, step = 0.01))
plt.contourf(X1, X2, classifier.predict(np.array([X1.ravel(), X2.ravel()]).T).reshape(X1.shape),
             alpha = 0.75, cmap = ListedColormap(('red', 'green', 'blue')))
plt.xlim(X1.min(), X1.max())
plt.ylim(X2.min(), X2.max())
for i, j in enumerate(np.unique(y_set)):
    plt.scatter(X_set[y_set == j, 0], X_set[y_set == j, 1],
                c = ListedColormap(('red', 'green', 'blue'))(i), label = j)
plt.title('逻辑回归 (训练集)')
plt.xlabel('PC1')
plt.ylabel('PC2')
plt.legend()
plt.show()

output_11_0.png

# 可视化测试集 
from matplotlib.colors import ListedColormap
X_set, y_set = X_test, y_test
X1, X2 = np.meshgrid(np.arange(start = X_set[:, 0].min() - 1, stop = X_set[:, 0].max() + 1, step = 0.01),
                     np.arange(start = X_set[:, 1].min() - 1, stop = X_set[:, 1].max() + 1, step = 0.01))
plt.contourf(X1, X2, classifier.predict(np.array([X1.ravel(), X2.ravel()]).T).reshape(X1.shape),
             alpha = 0.75, cmap = ListedColormap(('red', 'green', 'blue')))
plt.xlim(X1.min(), X1.max())
plt.ylim(X2.min(), X2.max())
for i, j in enumerate(np.unique(y_set)):
    plt.scatter(X_set[y_set == j, 0], X_set[y_set == j, 1],
                c = ListedColormap(('red', 'green', 'blue'))(i), label = j)
plt.title('逻辑回归 (测试集)')
plt.xlabel('PC1')
plt.ylabel('PC2')
plt.legend()
plt.show()

output_12_0.png

参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/主成分分析
《 斯坦福机器学习》
《机器学习 A-Z》