【代数】不等式基础

题1 $x\in \mathbb R$ ，解不等式：
(1) $\frac{x^3-7x-6}{x^4-2x^3-x^2-2x+1} \ge 0$
(2) $x+\sqrt{x-1} <2$
(3) $x-\sqrt{2x^2-3x-8} <2$
(4) $\sqrt{3-x}+\sqrt{2x-1}>2$

解 (1) $x^3-7x-6$
$=x^3-x-6x-6$
$=x(x-1)(x+1)-6(x+1)$
$=(x+1)(x+2)(x-3)$

$x^4-2x^3-x^2-2x+1$
$=x^2[(x^2+\frac{1}{x^2})-2(x+\frac{1}x)-1]$
$=x^2[(x+\frac{1}x)^2-2(x+\frac{1}x)-3]$
$=x^2(x+\frac{1}x-3)(x+\frac{1}x+1)$
$=(x^2-3x+1)(x^2+x+1)$
$=(x-\frac{3+\sqrt5}{2})(x-\frac{3-\sqrt5}{2})(x^2+x+1)$

原不等式 $\Leftrightarrow \frac{(x+1)(x+2)(x-3)}{(x-\frac{3+\sqrt5}{2})(x-\frac{3-\sqrt5}{2})(x^2+x+1)} \ge 0$
$\Leftrightarrow \begin{cases} (x+1)(x+2)(x-3)(x-\frac{3+\sqrt5}{2})(x-\frac{3-\sqrt5}{2}) \ge 0 \\ x \ne \frac{3+\sqrt5}{2} \\ x \ne \frac{3-\sqrt5}{2} \end{cases}$
$\Leftrightarrow x\ge 3$ 或 $\frac{3-\sqrt5}{2}< x < \frac{3+\sqrt5}{2}$ 或 $-2 \le x \le -1\blacksquare$

(2) 解法1 $\sqrt{x-1}=u$ ,则 $x=u^2+1$ ，原不等式等价于：
$\begin{cases} u^2+u-1 < 0 \\ u\ge 0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow 0\le u < \frac{\sqrt5-1}{2}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ \sqrt{x-1} < \frac{\sqrt5-1}2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow 1 \le x < \frac{5-\sqrt5}2$

解法2 原不等式等价于
$\sqrt{x-1} <2-x$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \le 2 \\ x-1 < (2-x)^2 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 1 \le x \le 2 \\ x>\frac{5+\sqrt5}{2}或x<\frac{5-\sqrt5}{2} \end{cases}$
$1 \le x < \frac{5-\sqrt5}{2}\blacksquare$

(3)原不等式等价于
$x-2 < \sqrt{2x^2-3x-8}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ 2x^2-3x-8 \ge 0 \\ (x-2)^2 <2x^2-3x-8 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x < 2 \\ 2x^2-3x-8 \ge 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge \frac{3+\sqrt{73}}{4}或x \le \frac{3-\sqrt{73}}{4}\\ x>3或x<-4 \end{cases}$
或 $x\le \frac{3-\sqrt{73}}{4}$
$\Leftrightarrow x>3或x\le\frac{3-\sqrt{73}}{4}\blacksquare$

(4)原不等式等价于
$\Leftrightarrow \begin{cases} 3-x \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \\ 3-x+ 2x-1+2\sqrt{(3-x)( 2x-1)} > 4 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{2} \le x \le 3 \\ 2\sqrt{(3-x)(2x-1)} \ge 2-x \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{2} \le x \le 2 \\ 4(3-x)(2x-1) \ge (2-x)^2 \end{cases}$
或
$2< x\le 3$
$\Leftrightarrow$
$\frac{16-4\sqrt7}{9} < x \le 3\blacksquare$

题2 $x\in \mathbb R$ ，求以下函数的取值范围：
(1) $y=\frac{2-x}{2x^2+2x+1}$
(2) $y=\frac{2-x}{\sqrt{2x^2+2x+1}}$
(3) $y=2-x+\sqrt{x-1}$
(4) $y=x-\sqrt{x^2+2x-3}$
(5) $y=\frac{2x+1}{x^2+2x-3}$
(6) $y=\sqrt{3x+2}+\sqrt{1-x}$
(7) $y=\sqrt{3x+2}+\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}$
解 (1) 解法1 令 $t=2-x$ ，则 $x=2-t$ ，那么：
$2x^2+2x+1=2t^2-10t+13$
所以
$y=\frac{t}{2t^2-10t+13}$
当 $t=0$ 时， $y=0$ ；
当 $t\ne 0$ 时， $y=\frac{1}{-10+2t+\frac{13}{t}}$
因为
$2t+\frac{13}t \ge 2\sqrt{26}$ 或 $2t+\frac{13}t \le -2\sqrt{26}$
所以
$-\frac{1}{2\sqrt{26}+10} \le y \le \frac{1}{2\sqrt{26}-10}$

解法2 原式变为：
$2yx^2+(2y+1)x+(y-2)=0$ (2.1)
因为函数 $y$ 的定义域为 $\mathbb R$ ，所以原问题变为求 $y$ 的取值范围，使得关于 $x$ 的方程(2.1)有实根。
当 $y=0$ 时， $x=2$ 为方程(2.1)的实根；
当 $y\ne 0$ 时，方程(2.1)有实根的充分不要条件是：
$\Delta =(2y+1)^2-4\times 2y\times (y-2)=-4y^2+20y+1 \ge 0$
解得：
$\frac{5-\sqrt{26}}{2} \le y \le \frac{5+\sqrt{26}}{2}$

(2) 令 $t=2-x$ ，则 $x=2-t$ ，那么：
$y=\frac{t}{\sqrt{2t^2-10t+13}}$
当 $t=0$ ，即 $x=2$ 时， $y=0$ ；
当 $t\ne 0$ ，即 $x \ne2$ 时，变形如下：
$y=\frac{1}{\sqrt{2-10\frac{1}t+\frac{13}{t^2}}} = \frac{1}{\sqrt{13(\frac{1}t-\frac{5}{13})^2+\frac{1}{13}}} \le \sqrt{13}(t>0)$
$y=-\frac{1}{\sqrt{2-10\frac{1}t+\frac{13}{t^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{13(\frac{1}t-\frac{5}{13})^2+\frac{1}{13}}} > -\frac{\sqrt{2}}{2} (t<0)$
综上所述， $-\frac{\sqrt{2}}{2}<y \le \sqrt{13}\blacksquare$

评注我们很容易想到这种方法，原式变形为：
$(2y^2-1)x^2+(2y^2+4)x+y^2-4=0$ (2.2)
原问题变为求y的范围，使方程(1.2)有实数解。
当 $y=\frac{\sqrt2}{2}$ 时，(1.2)显然有实数解；
当 $y\ne 0$ 时， $\Delta \ge0$ ，即：
$(2y^2+4)^2-4(y^2-4)(2y^2-1) \ge 0$
解得： $-\sqrt{13} \le y \le \sqrt{13}\blacksquare$

我们发现，用平方把根式不等式转变为整式不等式，会多出一大段增集 $[-\sqrt{13},-\frac{\sqrt2}{2}]$ 。为什么会这样？不等式在平方运算时，解集扩大一整段，如：
$\{y|-1<y <\sqrt3\}\subset \{y^2|y^2<\sqrt3\}\wedge \{y|-1<y <\sqrt3\}\ne \{y^2|y^2<\sqrt3\}$
增集的扩大是一段数集，难以验算。而把分式不等式变为整式不等式，虽然也有增集，但增集是有限的，容易排除。

(3) 令 $\sqrt{x-1}=t$ ，则 $2-x=-t^2+1,t\ge 0$ ，所以：
$y=-t^2+t+1=-(t-\frac{1}2)^2+\frac{5}4$
因为 $t\ge0$ ，所以：
$1 \le y \le \frac{5}4$

(4) 函数的定义域为 $\{x|x^2+2x-3 \ge 0\}=(-\infty,-3]\cup [1,infty)$
原式变为： $(y-x)^2=x^2+2x-3$ (2.3)
当 $y=-1$ 时，关于 $x$ 的方程(2.3)无解；
所以
$y\ne-1$ (2.4)
于是得：
$x=\frac{y^2+3}{2y+2}$
由定义域知：
$\frac{y^2+3}{2y+2} \le -3$ (2.5)
或
$\frac{y^2+3}{2y+2} \ge 1$ (2.6)

$(2.5)\Leftrightarrow \frac{y^2+6x+9}{2y+2}=\frac{(y+3)^2}{2y+2} \le 0$
$\Leftrightarrow y < -1$ (2.7)

而 $(2.6)\Leftrightarrow \frac{y^2-2y+1}{2y+2} = \frac{(y-1)^2}{2y+2} \ge 1$
$\Leftrightarrow y > -1$ (2.8)

另外，由 $y-x=-\sqrt{x^2+2x-3}$ 知：
$y-x \le 0$
即：
$y-\frac{y^2+3}{2y+2} \le 0$
这等价于：
$\begin{cases} (y+3)(y+1)(y-1) \le 0 \\ y \ne 1 \end{cases}$
$\Leftrightarrow y \le -3$ 或 $-1 < y \le 1$ (2.9)

由(2.4)(2.7)(2.9)得：
$y \le -3$ 或 $-1 < y \le 1$

(5) $y=\frac{2x+1}{x^2+2x-3}$
$\Leftrightarrow yx^2+(2y-2)x-3y-1=0 (x\ne 1,-3)$ (2.10)
问题变为求 $y$ 的取值范围，使方程有根且根不等于1与-3。
当 $y=0$ 时，方程(2.10)显然有根；
当 $y\ne0$ 时， $\Delta=4(y^2-2y+1)+12y^2+4y=16y^2-4y+4\ge 0$ (2.11)
不等式(2.11)对于任意的 $y$ 成立。
综上， $y$ 的取值范围是实数。

(6) $y=\sqrt{3x+2}+\sqrt{1-x}$
令 $\sqrt{3x+2}=u,\sqrt{1-x}=v$
则 $u^2+3v^2=5$
$5=u^2+3v^2 \ge u^2+\frac{v^2}{\frac{1}3}$
$\ge\frac{(u+v)^2}{\frac{4}{3}}$
所以， $(u+v)^2\le \frac{20}{3}$
即， $-\sqrt{\frac{20}{3}} \le u+v \le \sqrt{\frac{20}{3}}$
当 $x=\frac{7}{12}$ 时， $y_{max}=\sqrt{\frac{20}{3}}$

另一方面，函数的定义域为 $[-\frac{2}{3},1]$ ，根据单调性，区间端点取最小值，且：
$y_{x=1}=\sqrt{5}$
$y_{x=-\frac{2}3}=\sqrt{\frac{5}3}$
所以， $y_{min}=y_{x=-\frac{2}3}=\sqrt{\frac{5}3}$
所以， $y$ 的取值范围是 $[\sqrt{\frac{5}3},\frac{20}{3}]$