在群论中有以下事实
设G是群，称[a,b]=a⁻¹b⁻¹ab为换位子。G中所有的换位子生成的子群称为G的换位子群或导群，记作[G,G]。那么
【pro1】[G,G]是G的正规子群
【proof1】如图
【pro2】商群G/[G,G]是交换群。
【proof】只要证任意m，n∈G，mn[G,G]=nm[G,G]，而这等价于m⁻¹n⁻¹mn[G,G]=[G,G]。
【pro3】如果N是G的正规子群，且G/N为交换群，则[G,G]＜N
【proof】因为任意N必包含[G,G]，所以其实交换子群是使得G对它的商群为交换群的最小子群。
【additionally】
· 每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义：如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群{e}。
· 4次交错群的交换子群是克莱因四元群。（4次交错群是唯一不是单群的交错群）
· n次对称群的交换子群是n次交替群。
· 四元群Q= {1, −1,i, −i,j, −j,k, −k} 的交换子群是 {1, −1}。
【additionally】
换位子群的起源可能是魔方。因为如果要使得魔方产生尽可能小的变化，其他色块不变，魔方的拧的顺序具有形式aba⁻¹b⁻¹，只不过a和b可能代表一系列操作而不是单纯的拧一下。下面以面先法的公式进行分析。
面先法的还原步骤首先是要将一面还原好作为底面，用的公式是
F R F' R'、F R U' R'、U R U' R'、R U R'、U R2 U' R2'
然后就是将底层的棱角完成同色，用的公式是
R U'R2'U R、F2 R2 F'、F2 R2 F、U R'2 U'2 R
将底层的对角完成同色，用的公式是
U R2 U'2 F2、U R F R' 或 R F U R'、R U R' F'R'
然后用F U2 R、R' U2 F'将底层的三个角翻色
将顶面完成用到的公式是
R U R' U R U'2 R'、R U'2 R' U' R U' R'、R2 U2 R U2 R2、F (R U R' U')2 F'、F (R U R' U') F'、R U R' U' R' F R F'、F R' F' R U R U' R'
最后调整上下层角块的位置，用的公式为
(R'
F R F') R U2' R' U R U2' R'、(R U' R' U') F2 U' (R U R' D) R2、(R U' R'
U') F2 U' (R U R' D) F2 R2、R'2 F2 R2、R2 U' R'2 (U'2 y) R2 U' R'2、R2 U'
B2 U'2 R'2 U' R2、(R' F R' F2) R U' R、(R' U L') U2 (R U' L)、(R2 U R'2
U')2 R2、z (U'2 R U'2) (R' U2) (R U'2) (R' U2)
可见里面充满了换位子。
Amazing！
