2012年同等学力申硕计算机综合试题解析--数学基础

声明：题目是我从同学分享那获取的，有可能出现抄错题目的情况。试题解析是本人自己做的，再根据教材理论来完成本文编写，符号太多编写工作量大，如发现答案有错误或者不够准确请及时给我留言讨论，如需转载请表明出处。感谢所有提出意见和建议，以及帮助过我的朋友。如果觉得还行，欢迎点赞转发，谢谢！

一、用逻辑符号表达下列语句（每小题2 分，共4 分）

1. 在中国居住的人未必都是中国人（要求分别用存在量词和全称量词各给出一个表达式）。

解析：P(x) ：x是人，Q(x) ：x居住在中国，R(x)：x是中国人。

$┐\forall x P(x) \land Q(x) \rightarrow R(x)$

$\exists x P(x) \land Q(x) \land ┐R(x)$

2. 有且仅有一个火星。

解析：S(x)：x是星球，P(x) ：x是火星，Q(x,y) ：x和y相同。

$(\exists x)(S(x)∧P(x)∧(\forall y)(S(y)∧P(y) \rightarrow Q(x, y)))$ （参考2009逻辑符号第二题解析答案）

【网络释义】：有且仅有用“∃!” 即唯一量词表示,属于逻辑符号.符号:∃!读作:有且仅有，数学里的含义:精确的存在一个,只有一个符合要求,是唯一量词.举例:∃! x: P(x) 意味着精确的存在一个 x 使 P(x) 为真.

则本题答案可以描述为：∃! x: P(x)(如果这一表达可能会扣1分，参考2009逻辑符号第二题解析答案)

二、填空题（每空2 分，共14 分）

1．在 $(1+2x)^n$ 的展开式中 $x^k$ 的系数是 _______ $C_{(n,k)} 2^k$ _______________ ，其中 (1≤k≤n)。

解析：本题考查的是牛顿二项式展开式公式 $(1+ax)^n = \sum_{k=0}^n C_{(n,k)} a^k x^k$ ,这里的 $x^k$ 即为 $C_{(n,k)} 2^k$

2．设数列{ an } 满足递推关系： $𝒂_𝒏 = 𝒂_{𝒏−𝟏} + 𝟐$ 且 $𝒂_𝟏=1$ ，则满足此递推关系 $𝒂_𝒏$ 的解是___ $2n -1$ ______ 。

解析：本题一眼就能看出是一个以2为公差的的等差数列，递推一下就出来了。 $a_n = 2n -1$

3. 设 G 是一个有 n 个顶点和 f 个面的连通平面图，则 G 有 _ n+f-2 __ 条边。

解析：该题考查的是欧拉公式 $v - e + a = 2, v = n;a = f;$ $e = n+f -2$

4. 如果五个文科生和五个理科生排成一排，共有 10!__种不同的排法； 如果要求文科生和理科生交替排成一排，则共有__ $2*（5！）^2$ _ 种不同的排法。

解析： 第一空：无约束排成一排的方法为 $A_{10} = 10!$

第二空，交替排列，先让文科生排成一排有 $A_{5} = 5！$ ，再将理科生排成一排也是 $5！$ ，将理科生挨个插入到文科生队列，有整体前插和后插两种方法，因此该题答案为 $2*（5！）^2 = 28800$

5. 由 3 个 a，1 个 b，2 个 c 这六个元素组成的不同排列的总数是_60___ 。

解析：考查多重集的可重排列数问题：

【定理】 设 $S = \{ n_1.a_1,n_2.a_2，...，n_k . a_k\}$ 且 $n = \sum_{i=1}^k n_i$ 则S排列数等于 $\frac{n!}{n_1!.n_2!.....n_k!}$

因此该题的答案为 $\frac{6!}{2!1!3!}$ = 60

6．设图 G 的顶点集合 $V_{(G)}=\{ v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$ ，边集合为 $E_{(G)}=\{ v_1 v_2,v_2 v_3,v_3 v_4,v_4 v_5,v_5 v_1,v_5 v_6\}$ ，则 G 的不同生成树的棵数为 _5__。

解析：概念：连通图中的生成树必须满足以下 2 个条件：包含连通图中所有的顶点；任意两顶点之间有且仅有一条通路；如下图G所示，只要把形成环的边有5条，擦除其中任意一条即可获得一颗生成树，因此是 $C_{(5,1)} = 5$ 棵。

G图

三、解答题（共16 分）

1．（5 分）设用数字 2,4,6,8（数字可重复使用）可组成 $a_n$ 个含奇数个 2，偶数个 6 且至少含一个 8 的 n 位数(n≥2)。

（1）（2 分）写出数列{ an} 的指数型母函数 G(x)；

（2）（3 分）求出 an 的表达式。

解析：(1)根据题干要求写出指数型母函数：

$= (\frac{e^x-e^{-x}}{2}) (e^x) (\frac{e^x+e^{-x}}{2}) (e^x -1 ) = \frac{1}{4} (e^ {2x} - e ^ {-2x} )( e^{2x} - e^x) = \frac{1}{4} (e^ {4x} -1 - e ^ {3x} + e ^ {-x} ) = \frac{1}{4} (e^ {4x} - e ^ {3x} + e ^ {-x} ) - \frac{1}{4}$

$= \frac{1}{4} \sum_{n=0}^∞ (4^n - 3^n + (-1)^n) \frac{x^n}{n!} - \frac{1}{4}$

（2）

因此 $a_n = \frac{1 }{4 }(4^n - 3 ^ {n} + (-1)^n )$

2．（5 分）把 4 个相异的球放到 3 个相异的盒子中，使得不出现空盒，有多少种不同的放法？

解析：先从4个球中选2个球绑到一起 $C_{(4,2)} = \frac{4*3}{2} =6$

再把形成的3组球进行全排列放入3个盒子，每盒一组球 $A_3= 3!=6$

因此总数为： $C_{(4,2)} * A_3 = 6*6 = 36$ .

3．（6 分）设 A ={1,2,3}，（1）计算 A 上二元关系的个数。 （2）求出 A 上所有的等价关系。

解析：(1) |A| = 3，则A的二元关系个数为 $2^{|A|^2} = 2^9 = 512$

(2)等价关系，即要同时满足对称，自反，传递。我把等价关系图划分列出来，如下图：

{123}等价划分图

$I_A = \{ <1,1>,, \}$

划分成1个的等价关系 $R_1 = I_A \cup \{ <1,2>,,,,,\}$

划分成2个的等价关系：

$R_2 =I_A \cup \{ <1,2>, \}$

$R_3 =I_A \cup \{ <2,3>,\}$

$R_4 =I_A \cup \{ <1,3>, \}$

划分成3个的等价关系：

$R_5 =I_A = \{ <1,1>,,\}$

四、证明题（6 分）

证明：对任意集合A，B，C，有(A∩B)∪C = A∩(B∪C)当且仅当C ⊆ A。

证明：先证明 $“\Rightarrow ” \forall x$ ，已知条件 (A∩B)∪C = A∩(B∪C)

$x \in C \Rightarrow x \in (A \cap B) \cup C \Rightarrow x \in (A \cap ( B \cup C)) \Rightarrow x \in A \land x \in (B \cup C)$ ，引入条件。

$\Rightarrow x \in A \Leftrightarrow C \subseteq A$

再证明 $“\Leftarrow ” \forall x$ ，已知条件 C ⊆ A

$x \in C \Rightarrow x \in A, x \in C \Rightarrow x \in (B \cup C) \Rightarrow x \in (B \cup C) \cap A \Rightarrow x \in (B \cap A) \cup (C \cap A)$ ，引入条件。

$\Rightarrow x \in (B \cap A) \cup C \Rightarrow (B \cup C) \cup A = (B \cap A) \cup C$

得证 (A∩B)∪C = A∩(B∪C)当且仅当C ⊆ A