平方和公式推导

先给结论：
1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
有两种证明方法。(归纳法就不说了。)

法一：消项法

由于(a+1)^3-a^3=3a^2+3a+1，因而有
\begin{align} &2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1,\\ &3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1,\\ &4^3-3^3=3\times 3^2+3\times 3+1,\\ &\ldots \\ &\ldots \\ &(n+1)^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1,\\ \end{align}
等式两边竖向相加得到
\begin{align} (n+1)^3-1=3\times (1^2+2^2+\cdots+n^2)+3\times(1+2+\cdots+n)+n \end{align}
变形可得：
\begin{align} 6\cdot (1^2+2^2+\cdots+n^2)=2\cdot (n+1)^3-3\cdot n(n+1)-2\cdot (n+1) \end{align}
最终化简得：
\begin{align} 1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{align}

法二：几何三角法

假设有一正三角形，我们往三角形中填入带有数字的小圆，第一行只有一个圆，标号为1，第二行有两个圆，标号分别为2......以此类推，第n行有n个分别标有数字n的小圆。

如果将这一个三角形内的数字相加，结果便是1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2.

1

接着把该三角形分别旋转120度和240度，并记录这两个新的三角形。

旋转120度：

2

旋转240度：

3

接下来，我们把这三个三角形中，每个对应位置的小圆的数字相加，结果得到：

根据等差数列求和公式很容易得到小圆的数量为{n(n+1)}\over{2}.

由此我们得到关系式：
3\cdot (1^2+2^2+\cdots+n^2)={{n(n+1)(2n+1)}\over {2}}
即
1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

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