堆（Heap）

堆，是一种十分基础的数据结构，也是优先队列实现的最好方法，其本身的实现也挺简单的。废话不多说，我们直接来看堆的一些描述和特性。

二叉树

首先，堆其实就是一颗完全二叉树~~(不了解二叉树的可以看看这个《C/C++ 二叉树》)~~。

在描述一颗二叉树的时候，我们完全可以使用类似链表的方式，一个数据域来储存数据，两个指针来指向其左右节点。但这样储存会导致空间的浪费，所以可以采用数组来储存二叉树。

堆正是一种特殊的二叉树，也就是之前所说的完全二叉树，这样子的设计，可以保证在数组中，空间不会被浪费，因此他的储存效率还是蛮高的。

完全二叉树

先来看一下完全二叉树长啥样。

完全二叉树

可以看出来，这棵树如果一层层，从左到右标上号，是连续的~~(具体的描述可以看这个《C/C++ 二叉树》)~~，这正符合了数组这种连续的数据结构的特点，因此非常适合用数组（本质上就是连续的内存空间）来进行实现。

数组存储

讲了那么多，我们先用数组来存一波二叉树吧。

重新标号

还是刚刚那棵树，原汁原味，不过这回我把标号从1开始了，这样储存的时候计算下标会更方便。

不难发现，任何一个节点的父节点的标号 $p$ 等于该节点标号 $i$ 除以2，并向下取整，即 $p = \lfloor{i / 2}\rfloor$ 。

同样的，一个节点的两个子节点 $i1$ ， $i2$ 分别等于该节点 $p$ 的下标乘以2 和乘2加1。即 $i1 = p \times 2$ ， $i2 = p \times 2 + 1$ 。

因此，我们在储存的时候只要注意下，数组下标从1开始计算。

上面的都是废话，正文开始。。。。

堆的描述

堆，正如他的字面意思，是一层层堆上去的，每一层之间都有一些特殊的关系。

在这其中就分为了两种堆，一种叫做大顶堆，另一种叫做小顶堆，其区分的方式便是父节点和其子节点之间的关系不同。

小顶堆

字面意思，也就是在最上面的顶点(root节点)是整个堆最小的，往下走，每一个上面的节点都比下面的小。

每个父节点都比子节点小。

大顶堆

同小顶堆的描述，也就是在最上面的顶点(root节点)是整个堆最大的，往下走，每一个上面的节点都比下面的大。

每个父节点都比子节点大。

实现

根据堆的描述，我们很容易就用数组实现出来。

不管怎么说我们先开一个数组：

int a[1000];

然后再开一个变量记录堆中元素总数。

int n = 0; // 代表当前堆中元素数量

接着，我们很容易写出一个插入函数：

void push(int num)
{
    a[++ n] = num;
}

但这样也只仅仅是插入元素至数组，那么我们怎么来维护一个堆呢？

我们这边以大顶堆作为例子来进行演示。

维护堆

插入

很容易理解，如果一个堆里没有元素或者只有一个元素，那他就是符合堆的描述的。

那么，我们在插入第二个元素的时候，就有可能出现子节点比父节点大的情况，这时候我们就需要进行交换。而每个这样的上下交换，便叫做shift-up。

上浮过程

上图描绘的便是一个堆简单的维护过程。在大顶堆中，只要发现新插入的元素比其父节点来得大，那就进行交换，然后一直重复这个操作到root节点。很明显，插入一次的时间复杂度是 $O(logn)$ 。

根据这个过程，我们很容易就写出代码。

首先随便写一个交换，当然用C++的algorithm头文件也行。

void swap(int &a, int &b)
{
    if (a == b) return; // 防止交换相同元素导致都=0
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

然后就是我们的shift-up的代码：

~~递归版本：~~

void _up(int i)
{
    int p = i / 2;
    if (p == 0) return;
    if (a[i] > a[p]) {
        swap(a[i], a[p]);
        _up(p);
    }
}

循环版本（一般用这个）：

void up(int i)
{
    int p = i / 2;
    while (p != 0 && a[i] > a[p])
    {
        swap(a[i], a[p]);
        i = p;
        p /= 2;
    }
}

代码的意思很直白，先计算一个节点的父节点的下标p，然后判断a[i]与a[p]之间的大小关系，不对就交换，然后移动到父节点，继续这个过程。

因此堆的push方法就是这样的了

void push(int num)
{
    a[++ n] = num;
    up(n);
}

删除

根据堆的设计，我们一般删除的节点就是root节点，也就是对应数组的a[1]。

删除的方式，其实也挺简单，交换a[1]和a[n]，也就是交换root节点和最后一个节点，然后在从上到下进行一遍维护，也就是shift-down操作，恰好和之前的shift-up操作相反。

下沉操作

图中，红色的代表删除的节点，橙色的代表位置不正确的节点，最后一直进行shift-down操作，使所有节点归位，复杂度为 $O(logn)$ 。

同时，最后这个堆中所有的元素是呈一定的顺序的，将它以普通的数组展现出来的时候，它便是升序排序排好的：[1, 2, 3, 4, 5]，因此有一种排序就叫做 $堆排序$ 。

同样的，我还是给出两个版本。
~~递归版本：~~

void _down(int i)
{
    int k = i * 2;
    if (k > n) return;
    if (k + 1 <= n && a[k + 1] > a[k]) k ++;
    if (a[i] < a[k])
    {
        swap(a[i], a[k]);
        _down(k);
    }
}

循环版本：

void down(int i)
{
    int k = i * 2;
    if (k + 1 <= n && a[k + 1] > a[k]) k ++;
    while (k <= n && a[i] < a[k])
    {
        swap(a[i], a[k]);
        i = k;
        k *= 2;
        if (k + 1 <= n && a[k + 1] > a[k]) k ++;
    }
}

上述代码的意思就是首先计算他的儿子节点k的下标，然后比较左右两个儿子的大小，选择大的那个，之后再与之交换，然后一直进行这个过程，直到符合为止。

有了shift-down函数做基础，那么删除函数，也就变得十分简单，只要交换头尾元素即可。

void pop()
{
    if (n > 0) // n是元素个数，要注意>0才能pop
    {
        swap(a[1], a[n --]); // 交换头尾元素
        down(1); // 开始shift-down
    }
}

建堆

建堆，是将一个不符合堆的描述的数组转化成一个符合堆的描述的一个数组。

不要把这个过程想得太复杂，其实很简单，仅仅只需要用到上文中的shift-down函数即可。

一颗完全二叉树

还是以上文中的那棵树为例，我们假设需要构建一个大顶堆，而输入的数组为：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]（如图所示）。

那么，我们只需要从 $最后一个拥有子节点的父节点$ 开始递减，直到root节点。

很显然，图中最后一个父节点便是6号节点，所以说我们只需for (int i = 6;i >= 1;i --)一直递减即可。

由上文的规律可知：

任何一个节点的父节点的标号 $p$ 等于该节点标号 $i$ 除以2，并向下取整，即 $p = \lfloor{i / 2}\rfloor$ 。

所以，只要根据最后一个节点的下标，即可求出最后一个父节点的下标。即 $P = \lfloor{n/2}\rfloor$ 。

建堆代码：

void heapify()
{
    for (int i = n / 2;i >= 1;i --)
    {
        down(i);
    }
}

值得注意的是，这种方式的时间复杂度是 $O(n)$ ，推倒过程百度上很多，可以查阅。

完整代码

//
//  main.cpp
//  Heap
//
//  Created by JackLee on 2020/2/20.
//  Copyright © 2020 JackLee. All rights reserved.
//

#include <stdio.h>

//------------------------------------------------------------------------
//------------------------------打印堆函数BEGIN-----------------------------
#include <math.h>
#include <vector>

using namespace std;

struct ps {
    int dps;
    int length;
    int type;
};

void print_binTree(int *root, int n, int index, int d, int lr, vector<ps> dps) // 打印堆函数，用于直观的显示堆中元素
{
    if (index > n) return;
    
    ps p = {d, (int) log10(root[index]) + 1, index * 2 + 1 <= n && lr == 0};
    if (dps.size() <= d) dps.push_back(p);
    else dps[d] = p;
    print_binTree(root, n, index * 2 + 1, d + 1, 1, dps);
    for (vector<ps>::iterator i = dps.begin();i != dps.end() - 1;i ++)
    {
        if (i -> type && i -> dps != 0) printf("|");
        else printf(".");
        for (int j = 0;j < i -> length + ((i -> dps) != 0) * 2;j ++)
        {
            printf(".");
        }
    }
    if (d != 0) printf("|-");
    printf("%d",root[index]);
    if (index * 2 <= n || index * 2 + 1 <= n) printf("-|");
    printf("\n");
    dps[d].type = index * 2 <= n && lr;
    print_binTree(root, n, index * 2, d + 1, 0, dps);
}
//------------------------------打印堆函数END-------------------------------
//------------------------------------------------------------------------


int a[1000]; // 从1开始
int n = 0;

void swap(int &a, int &b)
{
    if (a == b) return; // 防止交换相同元素导致都=0
    a ^= b;
    b ^= a;
    a ^= b;
}

void _up(int i)
{
    int p = i / 2;
    if (p == 0) return;
    if (a[i] > a[p]) {
        swap(a[i], a[p]);
        _up(p);
    }
}

void up(int i)
{
    int p = i / 2;
    while (p != 0 && a[i] > a[p])
    {
        swap(a[i], a[p]);
        i = p;
        p /= 2;
    }
}

void _down(int i)
{
    int k = i * 2;
    if (k > n) return;
    if (k + 1 <= n && a[k + 1] > a[k]) k ++;
    if (a[i] < a[k])
    {
        swap(a[i], a[k]);
        _down(k);
    }
}

void down(int i)
{
    int k = i * 2;
    if (k + 1 <= n && a[k + 1] > a[k]) k ++;
    while (k <= n && a[i] < a[k])
    {
        swap(a[i], a[k]);
        i = k;
        k *= 2;
        if (k + 1 <= n && a[k + 1] > a[k]) k ++;
    }
}

void push(int num)
{
    a[++ n] = num;
    up(n);
}

void pop()
{
    if (n > 0)
    {
        swap(a[1], a[n --]);
        down(1);
    }
}

void heapify()
{
    for (int i = n / 2;i >= 1;i --)
    {
        down(i);
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    int t;
    printf("The heap array's length: ");
    scanf("%d",&t);
    int in;
    for (int i = 1;i <= t;i ++) scanf("%d",a + i);
    n = t;
    heapify();
    printf("Heapified\n");
    print_binTree(a, n, 1, 0, 1, vector<ps>());
    printf("\n");
    while (1)
    {
        printf("Operation? (0 - push, 1 - pop, 2 - sort and quit, else - quit): ");
        scanf("%d",&in);
        if (!in)
        {
            printf("Your number: ");
            scanf("%d",&in);
            push(in);
            print_binTree(a, n, 1, 0, 1, vector<ps>());
            printf("\n");
        } else if (in == 1)
        {
            printf("Poped: %d\n",a[1]);
            pop();
            print_binTree(a, n, 1, 0, 1, vector<ps>());
            printf("\n");
            
        } else if (in == 2)
        {
            t = n;
            printf("The final array: [");
            while (n) pop();
            for (int i = 1;i <= t;i ++)
            {
                if (i != 1) printf(", ");
                printf("%d",a[i]);
            }
            printf("]\n");
            break;
        } else break;
        
    }
    return 0;
}

C 堆

C 堆

堆（Heap）

二叉树

完全二叉树

数组存储

堆的描述

小顶堆

大顶堆

实现

维护堆

插入

删除

建堆

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