含义角度解释（物理意义角度）
奇异值往往对应着矩阵中隐含的重要信息，且重要性和奇异值大小正相关。每个矩阵都可以表示为一系列秩为1的“小矩阵”之和，而奇异值则衡量了这些“小矩阵”对于的权重
几何角度解释（线性变换的角度）
奇异值分解的含义是，把一个矩阵A看成线性变换（当然也可以看成是数据矩阵或者样本矩阵），那么这个线性变换的作用效果是这样的，我们可以在原空间找到一组标准正交基V，同时可以在像空间找到一组标准正交基U，我们知道，看一个矩阵的作用效果只要看它在一组基上的作用效果即可，在内积空间上，我们更希望看到它在一组标准正交基上的作用效果。而矩阵A在标准正交基V上的作用效果恰好可以表示为在U的对应方向上只进行纯粹的伸缩！这就大大简化了我们对矩阵作用的认识，因为我们知道，我们面前不管是多么复杂的矩阵，它在某组标准正交基上的作用就是在另外一组标准正交基上进行伸缩而已。
这就表明任意的矩阵 A 是可以分解成三个矩阵相乘的形式。V表示了原始域的标准正交基，U表示经过A 变换后的co-domain的标准正交基，Σ表示了V 中的向量与U中相对应向量之间的关系。我们仔细观察上图发现，线性变换A可以分解为旋转、缩放、旋转这三种基本线性变换。
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∑是对角阵，表示奇异值，A矩阵的作用是将一个向量在V这组正交基向量的空间旋转，并对每个方向进行了一定的缩放，缩放因子就是各个奇异值。然后在U这组正交基向量的空间再次旋转。可以说奇异值分解将一个矩阵原本混合在一起的三种作用效果，分解出来了
应用
不同角度的奇异值解释
1、推荐系统
左奇异值矩阵U：用户-潜在因子矩阵
左奇异值矩阵V：潜在因子-音乐矩阵
∑：潜在因子的重要度
潜在因子指的是物品的特征
一，用户-潜在因子矩阵U，表示不同的用户对于不用元素的偏好程度，1代表很喜欢，0代表不喜欢。比如下面这样：
二，潜在因子-音乐矩阵 V，表示每种音乐含有各种元素的成分，比如下表中，音乐A是一个偏小清新的音乐，含有小清新这个Latent Factor的成分是0.9，重口味的成分是0.1，优雅的成分是0.2……
在推荐系统里面，代表
SVD奇异值分解(3)-推荐算法应用
https://cloud.tencent.com/developer/article/1049377
2、LSI 文本
左奇异值矩阵U：词-潜在因子矩阵
左奇异值矩阵V：潜在因子-文章
∑：潜在因子的重要度
潜在因子指的是词的隐含含义
https://my.oschina.net/u/1462678/blog/893835
这就是一个矩阵，不过不太一样的是，这里的一行表示一个词在哪些title中出现了（一行就是之前说的一维feature），一列表示一个title中有哪些词，（这个矩阵其实是我们之前说的那种一行是一个sample的形式的一种转置，这个会使得我们的左右奇异向量的意义产生变化，但是不会影响我们计算的过程）。比如说T1这个title中就有guide、investing、market、stock四个词，各出现了一次，我们将这个矩阵进行SVD，得到下面的矩阵：
左奇异向量表示词的一些特性，右奇异向量表示文档的一些特性，中间的奇异值矩阵表示左奇异向量的一行与右奇异向量的一列的重要程序，数字越大越重要。
继续看这个矩阵还可以发现一些有意思的东西，首先，左奇异向量的第一列表示每一个词的出现频繁程度，虽然不是线性的，但是可以认为是一个大概的描述，比如book是0.15对应文档中出现的2次，investing是0.74对应了文档中出现了9次，rich是0.36对应文档中出现了3次；
其次，右奇异向量中的第一行表示每一篇文档中的出现词的个数的近似，比如说，T6是0.49，出现了5个词，T2是0.22，出现了2个词。
