解三角

解三角

一、正弦定理

$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R$

常见变形：

$1.$ $a:b:c = sinA:sinB:sinC$

$2.$ $边化角：$ $a = 2RsinA ，b = 2RsinB ，c = 2RsinC$

$3.$ $角化边：$ $sinA = \frac{a}{2R}，sinB = \frac{b}{2R}，sinC = \frac{c}{2R}$

$4.$ $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}= 2R = \frac{a + b + c}{sinA + sinB + sinC}$

小技巧

1. 分式上下次数相同（边或sin角）

$\frac{acosA}{b} \Rightarrow\frac{sinAcosA}{sinB}$

$\frac{asinA + bsinB - csinC}{asinB} \Rightarrow \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab}$

2. 等式左右两边次数相同（边或sin角）

$acosB + bcosA = asinC \Rightarrow sinAcosB + sinBcosA = sinAsinC$

$(asinA + bsinB - csinC) = asinB \Rightarrow (a^2 + b^2 - c^2) = ab$

eg.

1.在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a,b,若 $2asinB=\sqrt{3}b$ ，则角A等于 $(\quad )$

$2.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c, 若sinA^2 + sinB^2 - sinC^2 = \sqrt{3}sinAsinC，则角B等于(\quad )$

$3.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c, 若B = 2A,a=1,b=\sqrt{3}，则角c等于(\quad )$

二、余弦定理

$a^2 = \color{green}{b^2 + c^2 - 2bccosA}$

$b^2 = \color{green}{a^2 + c^2 - 2accosB}$

$c^2 = \color{green}{a^2 + b^2 - 2abcosC}$

常见变形：

（1）变形1：

$cosA = \color{green}{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}},cosB = \color{green}{\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}},cosC = \color{green}{\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}}$

（2）变形2：

$b^2 + c^2 - a^2 = 2bccosA,a^2 + c^2 - b^2 = 2accosB,a^2 + b^2 - c^2 =2abcosC$

三、三角形解的个数

(1)已知三角形两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定
(2)已知三角形的两边和其中一边对角，求其他的边和角，此时可能出现无解、一解、两解的情况，三角形不能唯一确定

$① \quad 若sinB = \frac{bsinA}{a} > 1, 则三角形无解；$
$②\quad若sinB = \frac{bsinA}{a} = 1, 则三角形有唯一解；$
$③\quad若sinB = \frac{bsinA}{a} < 1, 则三角形有一解或两个解；$

当 $0<sinB<1$ 时，由三角函数图像，可得B有两个解，一个为锐角，一个为钝角，此时需要根据“大边对大角”“三角形内角和”来判断B的大小

四、判断三角形的形状

(1) 转化为角的三角函数(值)来判断：

①若cosA=0,则A=90°,△ABC为直角三角形
②若cosA<0，则A为钝角，△ABC为钝角三角形
③若cosA>0,且cosB>0,且cosC>0,△ABC为锐角三角形
【注意】一般根据“大边对大角”原则，只需判断最大角的余弦值即可

(2) 转化为三角形的边来判断：

① a2+b2=c2 或 a2+c2=b2 或 b2+c2=a2，则△ABC为直角三角形
② a2+b2<c2 或 a2+c2<b2 或 b2+c2<a2，则△ABC为钝角三角形
③ a2+b2>c2 且 a2+c2>b2 且 b2+c2>a2，则△ABC为锐角三角形

五、面积公式

(1) $\color{green}{S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab sin C= \frac{1}{2}ac sin B= \frac{1}{2} bc sinA}$
(2) $S_{△ABC}=\frac{1}{3}(a+b+c)r，其中r为三角形内切圆半径$
(3) $S_{△ABC}=\frac{abc}{4R}，其中R为三角形外接圆半径$
(4) $S_{△ABC}=2R^2 sinAsinBsinC，其中R为三角形外接圆半径$
(5) $S_{△ABC}=\sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}，其中p=\frac{(a+b+c)}{2}$