抽样与估计

随机抽样：随机就完事
分层抽样：将整体分组进行抽样，比如一线城市，二线城市，三线城市
整群抽样：按群里进行抽样；比如后端工程师，前端工程师，AI工程师
系统抽样：按照预定规则抽样；比如每生产100个抽取1个

大数法则

当测试数据量无限增大的时候，随机事件曾现几乎必然的结果，比如：实验平均结果是趋近于数学期望

切比雪夫大数定律

设随机变量 $X_1,X_2......X_n ，服从相同的分布，E(X_i)=\mu，D(X_i)=\sigma^2，对于任意的\varepsilon，有如下公式$

切比雪夫.gif

伯努利大数定律：

跟期望类似，只不过这里说的是概率，事件A的发生概率为P，将实验独立重复地进行n次，当n趋近于无穷大时，事件A发生的频数几近于概率

中心极限定理

理解
1.样本均值等于总体的均值
2.无论总体是什么分布，样本均值在总体均值附近
3.样本均值成正太分布

同分布中心极限定理

对于随机变量 $X_1,X_2......X_n$ ，相互独立且服从统一分布，有数学期望和方差 $E(X_i)=\mu，D(X_i)=\sigma^2$ ，当n足够大时
对于标准化变量 $Y_n=\frac{\sum^n_{k=1} X_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}$ 的分布函数 $F_n(x)$ ，对于任意x满足
$F_n(x)=\lim_{n \to \infty}P \{ Y_n\leq x \}= \Phi(x)$
因为 $Y_n \approx N(0,1)$ ，即正太分布，所以 $\Phi(x)$ 为正态分布的面积

例子：

例子.png

拉普拉斯定理（中心极限定理2）

n=1,2,3.......，其中0<p<1，q=1-p，则对任意实数x，有

拉普拉斯定理.png

例子：

截屏2020-04-29 下午7.41.47.png

$\lim^{x \to \infty}_{y \to 0}{\frac{x}{y}}$

点估计

点估计指的是用样本统计量来估计总体参数，比如一个学校随机抽样几个学生得出学校的平均身高，因为样本为数轴上某一点值，估计的结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。

矩估计

矩估计方法是点估计中的一种，其原理就是构造样本和总体的矩，然后用样本的矩去估计总体的矩。
一阶原点距： $E(x)$
二阶原点距： $E(x^2)=D(x)+E(x)^2$
在求样本的期望和连续型随机变量（已经概率密度的）的期望，求法是不一样的。

计算步骤：

根据题目给出的概率密度函数，计算总体的原点矩（如果只有一个参数只要计算一阶原点矩，如果有两个参数要计算一阶和二阶）。
根据题目给出的样本。按照计算样本的原点矩。（计算方法在上文都有给出）
让总体的原点矩与样本的原点矩相等，解出参数。所得结果即为参数的矩估计值

极大似然估计

极大似然估计源于贝叶斯分类
1.已知整体满足某种概率分布，
2.通过若干次实验分析结果，计算参数大概值
3.获取能使样本出现概率最大的参数

计算方法：

写出似然函数；
对似然函数取对数，并整理；
求导数；
解似然方程。

极大似然估计详解
 点估计和最大似然估计解析和计算

区间估计

置信区间
怎么理解，比如学生身高均值为[165,175]的置信区间，置信度为95%；说明任意一个样本学生X落在[165,175]的概率为95%。

置信水平：
指置信区间包含总体平均值的概率多大，如置信水平为95%；用一句话说就是：我有 95% 的把握估计我高考分数是 600-650，因为你对考试成绩的把握，就是根据你多次考试的均值
在给定置信度的条件下，置信区间的宽度决定于抽样分布,会随着样本量的增大而减小，在样本量给定时，置信区间的宽度随着置信系数的增大而增大。

标准误差
标准误差是对样本均值方差的度量，公式是： $SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , n是样本数
例子：
已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。