Python 实现拉格朗日插值

一般在数据处理的过程中，会遇到缺失值的情况，对于缺失值的处理一般会删除或者插值补充。其中拉格朗日插值就是一种最简单的插值方法。本文主要涉及两个内容
1、拉格朗日插值的数学理论
2、Python实现拉格朗日插值

1、拉格朗日插值
对于所取得的n个样本数据(xi, yi)(其中n=1,2，...,n)，满足的n次多项式，然后计算多项式在兴趣点的值，把这种方法叫做拉格朗日插值，其实就是解方程组。对于有n个数据样本，需要n-1次多项式函数，将n个数据带入函数中，得到n元一次的方程组，解出方程组就能得到函数。于是就能计算你感兴趣的x对应的y值了。
n-1次多项式函数为

将n个样本数据带入以上方程中得到：
其中：

方程的解的问题就转化为矩阵X是否可逆，如果可逆那么方程就有解。而解的个数取决于X的秩，如果X的秩为n有唯一解，X的秩小于n，方程就有无数个解。

2、Python实现拉格朗日插值
只需要导入scipy.interpolate的lagrange方法

# -*- coding:utf-8 -*-
from scipy.interpolate import lagrange
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def interp_lagrange(x, y, xx):
    # 调用拉格朗日插值，得到插值函数p
    p = lagrange(x, y)
    yy = p(xx)
    plt.plot(x, y, "b*")
    plt.plot(xx, yy, "ro")
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    NUMBER = 20
    eps = np.random.rand(NUMBER) * 2

    # 构造样本数据
    x = np.linspace(0, 20, NUMBER)
    y = np.linspace(2, 14, NUMBER) + eps

    # 兴趣点数据
    xx = np.linspace(12, 15, 10)
    interp_lagrange(x, y, xx)

根据20个样本点插值结果

注意
1、很多人可能觉得样本数据越多，得到的插值数据会越精确，这样想法是不正确的。理论上说，样本数据过多，得到的插值函数的次数就越高，插值的结果的误差可能会更大。拉格朗日插值的稳定性不太好，出现不稳定的现象称为龙格现象，解决的办法就是分段用较低次数的插值多项式。
2、插值一般采用内插法，也就是只计算样本点内部的数据。