在计算置信区间时，使用引导法（Bootstrap）可以采用不同的抽样方法。主要有两种方式：总体数据的有放回抽样和无放回抽样。这两种方法在计算引导法置信区间时有不同的效果和适用场景。
有放回抽样
有放回抽样（通常称为 Bootstrap）是引导法中最常用的方法。其步骤如下：
- 从总体数据中有放回抽样：从原始数据中随机抽样，样本量与原始数据相同，每次抽样后放回数据集，意味着可以多次抽到相同的数据点。
- 计算统计量：对每次抽样得到的样本计算所需的统计量（例如均值、方差）。
重复抽样：重复上述步骤多次（例如 1000 次），得到统计量的分布。 - 计算置信区间：根据统计量的分布计算置信区间（例如，通过分位数法）。
优点：
- 保留了数据集的大小和分布特性。
- 适用于任何未知分布的数据。
缺点：
- 计算量大，尤其是对于大样本数据。
无放回抽样
无放回抽样是一种从总体数据中抽取较小子集的方法，步骤如下：
- 从总体数据中无放回抽样：从原始数据中随机抽取一个较小的子集，抽样时不放回，子集的大小通常小于原始数据集。
- 计算统计量：对每次抽样得到的子集计算所需的统计量。
- 重复抽样：重复上述步骤多次（例如 1000 次），得到统计量的分布。
- 计算置信区间：根据统计量的分布计算置信区间。
优点：
- 计算量较小，适用于大数据集。
- 可以减少抽样偏差，但可能引入子集大小选择的敏感性。
缺点：
- 子集大小的选择需要慎重，太小的子集可能无法代表总体数据。
- 由于每次抽样是无放回的，子集之间可能会有较大差异，导致估计不稳定。
具体实现示例
以下是使用 R 语言的示例，展示两种方法的实现和比较。
有放回抽样
bootstrap_sampling <- function(data, n_bootstrap) {
n <- length(data)
stats <- numeric(n_bootstrap)
for (i in 1:n_bootstrap) {
sample_data <- sample(data, n, replace = TRUE)
stats[i] <- mean(sample_data)
}
return(stats)
}
# 示例数据
data <- c(0.80, 0.83, 1.89, 1.04, 1.45, 1.38, 1.91, 1.64, 0.73, 1.46)
n_bootstrap <- 1000
# 计算引导法统计量
set.seed(123)
bootstrap_stats <- bootstrap_sampling(data, n_bootstrap)
# 计算置信区间
ci <- quantile(bootstrap_stats, c(0.025, 0.975))
print(ci)
无放回抽样
subsampling <- function(data, subset_size, n_bootstrap) {
n <- length(data)
stats <- numeric(n_bootstrap)
for (i in 1:n_bootstrap) {
sample_data <- sample(data, subset_size, replace = FALSE)
stats[i] <- mean(sample_data)
}
return(stats)
}
# 示例数据
data <- c(0.80, 0.83, 1.89, 1.04, 1.45, 1.38, 1.91, 1.64, 0.73, 1.46)
subset_size <- 7
n_bootstrap <- 1000
# 计算无放回抽样的统计量
set.seed(123)
subsampling_stats <- subsampling(data, subset_size, n_bootstrap)
# 计算置信区间
ci <- quantile(subsampling_stats, c(0.025, 0.975))
print(ci)
比较
- 有放回抽样：每次抽样的样本大小等于原始数据集，保持了原始数据的分布特性，适合用于小数据集和未知分布的数据。
- 无放回抽样：每次抽样的子集小于原始数据集，计算效率较高，但结果对子集大小敏感，适合大数据集。
两者的选择取决于具体的应用场景和数据集特性。对于大数据集，无放回抽样可以减少计算开销，但需要仔细选择子集大小以确保估计的稳定性和准确性。
