快速傅里叶变换和离散傅里叶变换

快速傅里叶变换（FFT）

离散傅里叶变换（DFT）

基础理论是傅里叶变换的分离形式，和采样定理（香菜定理）

采样定理的基本概念。时域采样频率 $F_s$ , 采样周期 $1/F_s$ 。带宽指的是一个频率的范围，例如，信号中存在着0-300Hz 的各种频率的正弦波，此时带宽就是300Hz。采样定理：采样频率要至少是带宽的两倍，此时才可以利用DFT重现时域的信号。
采样定理具体应用。一般来说（例如scipy.fftpack)，fft计算的结果中由正频部分和负频部分组成，但是有意义的结果是正频部分，负频部分是计算的冗余和正频部分是对称的，带宽指的是正频部分的最大值。所以经过FFT正频部分的最大值的是 $F_s/2$ .
由采样定理可以得到一些重要的关系，采样频率 $F_s$ , 采样周期为 $1/F_s$ ，采样点数 $N$ ，采样时间 $T$ ，对应的频域的频率分辨率 $\Delta f$ , 最大频率，频率点 $F_n$ ，之间的关系。
- 首先时域和频域的点数是一样的 $N$ 。
- 信号中最大的周期是 $T$ , 所以基频是 $1/T$ , 同样的频率分辨率也是 $\Delta f = 1/T = F_s/N$ .
- 由此每个点分频率为 $F_n=n\times F_S/N$ 。这里需要注意最大频率是 $F_S/2$ , 因为这N个点前一半是正频，后一半是负频，正频最大还是到采样频率的一半。负频部分是对称的冗余信息。
利用FFT得到的是一组N个复数，这N个复数表示一个个的正弦波（或者余弦） $Asin(\omega*2\pi t+ \phi)$ 。其中 $\omega\times2\pi = n\times F_s/N$ , 也就是位置表示的是频率，这个N复数的振幅和辐角就是这里的A和 $\phi$ 。
- 但是值得注意的是FFT 计算得到的A是放大的，对于0Hz的被放大了N倍，对于不是0Hz的部分被放大了N/2倍。实际操作中要转回来。
- 还有就是这里的 $2\pi$ 是默认乘上去的，所以要得到 $\omega$ 得除以 $2\pi$ 。

快速傅里叶变换（FFT）

快速傅里叶变换是分离傅里叶变换的一种计算实现。除此之外还有别的方式例如余弦傅里叶变换（CFT）等等。

实际的步骤就是先确定最大频率，这决定了 $F_s$ ，之后确定想要的频率分辨率 $\Delta f$ ，由此可以确定点数N，以及采样时间 $T$ 。基本上就确定了时域采样的情况。
最后需要对结果处理，首先是取正频，然后取模，然后除以N或者N/2。

import scipy.fftpack as sf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

omega = 100
Fs = 40
deltaf = 0.01
NN = int(Fs / deltaf)
TT = NN / Fs
tlist = np.linspace(0, TT, NN)
sample_test = np.cos(tlist * omega) + np.cos(tlist * omega / 2)

spectrum = sf.fft(sample_test) / (NN / 2)
frequncy = sf.fftfreq(NN, d=1 / Fs)
mark = np.where(frequncy >= 0)
spectrum[0] = spectrum[0] / 2


plt.style.use('default')
plt.plot(frequncy[mark], np.abs(spectrum[mark]))

最后需要注意一点，采样定理中制约了采样频率，采样点数和频域的分辨率，频谱最大值的关系，但是这仅仅是采样的关系，所以首先我们需要得到一个合适的演化的数组，然后利用采样定理来取点，而不是通过采样定理来决定演化过程中的点数等等，但是对于一些有具体表达式的关系可以仅仅进行采样过程。

最后编辑于：2020.10.18 16:12:08