3.6 狄拉克标记 Dirac notation

https://www.youtube.com/watch?v=AO5OQUJGF-g&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=40

前言

总结狄拉克标记，大大简化了量子力学的表示方法。

1.态的表示方法

以连续和不连续波函数为例，以及对应的傅立叶变换。
还记得傅立叶变换原则吗？通解乘以某态的共轭
$\begin{array}{llll} \hline \psi(x) & 傅立叶：\phi(p) & \psi & 傅立叶：c_n \\ \hline \psi(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \frac 1{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{ipx}{\hbar}} dp & \phi(p) = \int \frac 1{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{-ipx}{\hbar}} \psi(x) dx & \psi(x) = \sum_n c_n \psi_n (x) & c_n = \sum_n \psi^*_n \psi_x \\ \psi(x) = \langle x|\psi \rangle & \phi(p) = \langle p|\psi \rangle & \psi(x) = c_n |\psi_n(x) \rangle & c_n = \langle \psi_n | \psi \rangle \\ \hline \end{array}$

2.描述算符

假设两个基矢如下：
- $|\alpha \rangle = \sum_n a_n |\psi_n \rangle$
- $|\beta \rangle = \sum_n b_n |\psi_n \rangle$
他们之间有如下关系：
$\hat Q | \alpha \rangle = | \beta \rangle$
将 $|\alpha \rangle ,|\beta \rangle$ 带入上式：
$\hat Q \sum_n a_n |\psi_n \rangle = \sum_n b_n |\psi_n \rangle$
$\Rightarrow \sum_n a_n \hat Q |\psi_n \rangle = \sum_n b_n |\psi_n \rangle$
$\Rightarrow \langle \psi_m | \left[ \sum_n a_n \hat Q |\psi_n \rangle = \sum_n b_n |\psi_n \rangle \right]$
$\Rightarrow \sum_n a_n \langle \psi_m | \hat Q |\psi_n \rangle = \sum_n b_n \underbrace{\langle \psi_m |\psi_n \rangle}_{\delta_{nm}} = b_m$
所以最后得到了：
$b_m = \sum_n \overbrace{a_n}^{看成向量} \underbrace{\langle \psi_m|\hat Q |\psi_n \rangle}_{矩阵\hat Q_{nm}}$

3.正交和完备性

证明 $\sum_n | \psi_n \rangle \langle \psi_n | = 1$
设投影算符为 $\hat p_n = | \psi_n \rangle \langle \psi_n |$
$\sum_n \hat p_n |\beta \rangle = \sum_n |\psi_n \rangle \langle \psi_n |\beta \rangle = \sum_n b_n |\psi_n \rangle$
根据基矢的定义 $|\beta \rangle = \sum_n b_n |\psi_n \rangle$ ：
$\sum_n \hat p_n |\beta \rangle =|\beta \rangle$

4. 举例

假设有两个态 $\{| 1\rangle , | 2\rangle \}$ ,求每一个基矢。

根据正交归一性
$\langle 1| 2\rangle = \langle 2| 1\rangle =0$
$\langle 1|1 \rangle =\langle 2|2 \rangle =1$
所以
- - 当 $i=1 \rightarrow 1$
  - 当 $i=2 \rightarrow 0$
    $\Rightarrow |1\rangle = \underbrace{1 |1\rangle + 0 | 2\rangle }_{\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}}$
- $|2 \rangle = \cdots \begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}$

这样就可以得到矩阵：
$\hat H \sim \begin{pmatrix} \langle 1|\hat H | 1\rangle &\langle 1|\hat H | 2\rangle \\ \langle 2|\hat H |1 \rangle &\langle 2|\hat H |2 \rangle \end{pmatrix}$