离散数学学习——简单的数论基础

关于在离散数学中的除法

数学中很基本的运算加减乘除,本次主要讨论的是在离散数学中的除法,而除法通常会涉及到余数,通常用 mod 来表示求余数运算,而用a|b来表示a是b的因子,那么,很容易证明下面的定理:

若a|b,b|c,则a|c(传递性);
若a|b,a|c,则a为b,c的公因子;
若a|b,c|b,则b为a,c的公倍数;

那么就有最大公约数和最小公倍数,分别记作GCD(Great Common Divisor)和LCM(Least Common Multiple)。

提到最小公倍数和最大公约数就必须提到的一个数学概念就是素数,所谓素数,就是仅仅只有1和本身这两个因子,那么,需要介绍一个定理——算术基本定理(Arithmetic Fundamental Theorem):

若n>1且n\in N,则,n可以唯一地表示为p1^{k1} p2^{k2}p3^{k3} ...ps^{ks}

其中p1,p2,...ps为互不相同的素数。

那么最大公约数即可以表示为:

p1^{min{a1,a2}} p2^{min{b1,b2}}  p3^{min{c1,c2}}  ...ps^{min{k1,k2}}

最小公倍数可以表示为:

p1^{max{a1,a2}} p2^{max{b1,b2}}  p3^{max{c1,c2}}  ...ps^{max{k1,k2}}

所以,a*b=GCD(a,b)*LCM(a,b)。

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