分布相关函数

概率质量函数

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  • probability mass function，简称PMF；
  • 是离散随机变量X在各特定取值上的概率P(x)，其总和为1。
  • 与概率密度函数f(x)不同，概率质量函数是对离散随机变量定义的，本身就代表该值的概率。

离散随机变量概率质量函数的不连续性决定了其累积分布函数也不连续。

概率密度函数

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  • 是对连续随机变量定义的，本身不是概率，它在某区间内的积分才是概率。
  • 图中，横轴为随机变量的取值，纵轴为概率密度函数的值，而随机变量的取值落在某个区域内的概率为概率密度函数在这个区域上的积分。
  • 当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。
  • Probability density function，一般以大写“PDF”标记，在不至于混淆时可以简称为密度函数。

概率密度函数有时也被称为概率分布函数，但这种称法可能会和累积分布函数或概率质量函数混淆。

累计分布函数

  • cumulative distribution function, 简称CDF，又叫分布函数；
  • 是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布；
  • 定义为F(x)=P(X \le x)，是单调递增的，且满足：F(-\infty)=0和F(+\infty)=1。对离散分布而言，它是所有小于等于x的值出现的概率之和。

关系

  1. 对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是F_X(x)。如果存在可测函数 f_X(x)，满足：
    \forall-\infty <a<\infty,F_X(a)=\int_{-\infty}^{a}f_X(x)dx
    那么X是一个连续型随机变量，并且 f_X(x)是它的概率密度函数。

  2. 如果概率密度函数 f_X(x)在一点x上连续，那么累积分布函数F_X(x)可导，并且它的导数：
    F'_{X}=f_X(x)

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