反向的Hölder和Minkowski不等式

先看一个问题：

p≥1

这是DiBenedetto实分析上一道不等式，它写得紧凑一些就是 $||\|f_n\|_{L^1}||_{\ell ^p}≤ ||\|f_n\|_{\ell ^p}||_{L^1}$ ，但我用了一些能想到的放缩都无济于事，总是在关键时候把左边放大到比右边还要大. 但两边取p次方之后，我完成了想要的证明，证明主要归功于反向Minkowski不等式，而它由反向Hölder不等式推得.

$\begin{align} (Reversed\ Hölder\ Ineq).0<p&<1, 共轭的q<0, 则对f\in L^p和g\in L^q,有：\\ &\int _E |fg|≥\|f\|_p\cdot \|g\|_q \end{align}$

$\begin{align} pf. 令\bar p=1/p>1,\bar q=&1/(1-p)>1,则1/\bar p+1/\bar q=1,且：\\ \|f\|_p&=(\int_E|fg|^p/|g|^p)^{1/p}\\ 由Hölder\ Ineq\ &≤(\int _E|fg|)(\int _E1/|g|^{\frac {p}{1-p}})^{\frac {1-p}{p}}\\ &=\int _E|fg|/\|g\|_q\ \Box \end{align}$

$\begin{align} (Reversed\ Minko&wski\ Ineq).0<p<1,则对f,g\in L^p有：\\ &\| |f|+|g|\|_p≥\|f\|_p+\|g\|_p \end{align}$

$\begin{align} pf. 由反向Hölder&, 有：\\ \||f|+|g|\|_p^p &=\int _E(|f|+|g|)^{p-1}(|f|+|g|)\\ &≥(\int _E(|f|+|g|)^{q(p-1)})^{1/q})(\|f\|_p+\|g\|_p)\\ &=\||f|+|g|\|_p^{p/q}(\|f\|_p+\|g\|_p)\ \ (1/p+1/q=1)\ \Box \end{align}$

有反向Minkowski之后，不等式两边取p次方就是显然的了.