中学数学基础

集合、函数与命题

1. 集合与函数

1.1. 常用集合

对与数集，有时我们在表示数集的字母的右上角标上“*”来表示排除0 的集，标上“+”来表示排除0 与负数的集。常用集合符号如下：

• R，表示数轴上所有实数的集合，R*表示仅非零实数集，R+表示全体正实数集；
• ∅空集记作，且规定空集是任何集合A的子集
• N = {0,1,2,3,…,n,…}，非负整数集(自然数)集合；N*或N+ = {1,2,3,..,n,…}，正整数基；
• Z = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}，整数集；
• Q = {p/q|p∈Z,q∈N+且p与q互质}，有理数集；

1.2. 集合关系

    设A、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B的子集，记作A⊂B（A包含于B）或B包含A。如果集合A 与集合B 互为子集，即  A⊂B（A包含于B）且B包含于A ，则称A=B。若A⊂B且A≠B，则称A是B的  真 子集，记作A⫋B,例N⫋Z⫋Q⫋R。A∪B={x|x∈A 或x∈B}，并集；A∩B={x|x∈A 且x∈B}，交集；A\B={x|x∈ A 且x∉B}。

    设A 、B 、C 为任意三个集合，则有下列法则成立。交换律A∪B = B∪A；结  合律(A∪B)∪C = A∪(B∪C)；分配律(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)；补集C<sub>u</sub>A={x|x∈U，且x∉A}，A∪(C<sub>u</sub>A)=U，(C<sub>u</sub>A)∪(C<sub>u</sub>B)= C<sub>u</sub>(A∩B)；对偶律(A∪ B)C = AC∩BC。对偶律的第一个等式，两个集合的并集的**余集**等千它们的余集的交集＂证明有：x∈(AUB)<sup>c</sup> ⇒ x∉A∪B（或） ⇒  x∈A<sup>c</sup>∩B<sup>c</sup>（且），所以(A∪B)<sup>c</sup> ⊂ A<sup>c</sup>∩B<sup>c</sup>。

1.3. 函数（映射）区间与邻域

设a和b都是实数，且a<b,数集{x|a<x<b}，此为开区间（a，b） = {x|a<x<b}。开区间[a，b] = {x|a≤x≤b}，半开区间（a，b] = {x|a<x≤b}。[a，+∞） = {x|x≧a}，（-∞,b） = {x|x<b}都是无限区间。

设δ是任一正数，则开区间(a-δ,a+δ) 就是点a 的一个邻域，为点a 的δ邻域，记作U(a,δ)，即U(a,δ)={x|a-δ<x<a+δ}={x||x-a|<δ}。a 的去心δ邻域，记作U^o(a,δ)，即U^o(a,δ)={x|0<|x-a|<δ}。

复合函数。复合映射fog:X→Z中，g:D_g→Y₁，f:Y₂→Z。其中Y₁包含于Y₂，则由映射g和f可以得到从X到Z的对应法则，它的x∈X，对应f[g(x)] ∈Z。复合函数y = f[g(x)]，x∈D_g，称为由函数u = g(x)与y = f(u)构成的复合函数，定义域为D_g，变量u为中间变量。

反函数。逆映射f^-1对应的f^-1(y) = x。设f：[-π/2,π/2]→[-1,1]，对每个x∈[-π/2,π/2]，f(x)=sin x。此f是一个映射，其定义域D_f=[-π/2,π/2]，值域Rf=[-1,1]。f^-1，即f的逆映射g：D_f^-1 = R_f → X，g(x)=f^-1(x)=arsin x，其定义域D_f^-1∈[-1,1]。反函数f^-1(x)的定义域和值域分别是f(x)的值域和定义域。在图像上，该互为反函数的y=f^-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称。

1.4. 函数范例

1.4.1. 常用函数

• 常数函数：y=2，D=（-∞，+∞) ，W={2}。

• 多值函数：以“X²+Y²= r²且y≥0” 作为对应法则，就可得到一个单值分支 y= y₁(x) = √(r²-x²)；若附加 “y≤0”的条件，就可得到一个单值分支 y= y₂(x) = -√(r²-x²)。

• 绝对值函数：

  

• 符号函数：D=（-∞，+∞) ，R_f={-1,0,1}，x = sgn x *|x|。

  

• 取整函数：y = [x]，对于图像为阶梯函数。

• 狄利克雷函数：
  

1.4.2. 基本初等函数

1. 幂函数：y = x^u(u∈R)；

2. 指数函数：y = a^x(a>0且a≠1); 对数函数：y = log_ax(a>0且a≠1), y = ln x；

3. 三角函数：y = sin x(x∈R), y = cos x, y = tan x(x∈R\ {x|x ≠ Π/2 + kΠ, k∈Z})；反三角函数：y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x等；

   余切函数: y = cot x, x∈R\ {x|x ≠ kΠ, k∈Z};
   反正弦函数：y = arcsin x,D=(-1，+1),R=(-Π/2,Π/2);
   反余弦函数：y = arccos x, D=(-1，+1),R=(0,Π);
   反正切函数：y = arctan x, D=(-∞，+∞),R=(-Π/2,Π/2);
   反余切函数：
   三角函数乘积变换和差公式：
   两同相乘得两cos，二分sin对减来cos对加，cos减前要加负。两不同对两sin，二分sincos加来cossin减。
   sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2；
   cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2；
   sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2；
   cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2.
   三角函数和差变换乘积公式：
   两s和差两不同，加对sincos来减对cossin，2倍各有二分A+-B。
   两c和来两c乘，两c差来负两sin。
   sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]；
   sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]；
   cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]；
   cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2];
   tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB).
   三角函数的转化公式:
   平移存在左加右减，上加下减
   sin(-α)=-sinα;cos(-α)=cos(α);
   sin(π/2-α)=cosα;cos(π/2-α)=sinα;
   sin(π/2+α)=cosα;cos(π/2+α)=-sinα;
   tan(α)=sinsinα/cosα;
   tan(π/2+α)=-cotα;tan(π/2-α)=cotα;
   tan(π+α)=tanα;tan(π-α)=-tanα.
   二倍角公式：
   正弦有sin(2A)=2sin(A)cos(A)
   余弦有cos(2A)=cos^2(A)-sin^2(A); cos(2A)=2cos^2(A)-1; cos(2A)=1-2sin^2(A)
   弦注xian
   

1.5. 函数性质

• 函数的有界性，即函数在X上有界的充分必要条件时它同时具备上界和下界。
• 函数的单调性（对于区间I上任意两点x₁及x₂，当x₁<x₂时，恒有f(x₁)小于或者大于f(x₂)），单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
• 函数的奇偶性，定义域D原点对称。对于任一点x，偶函数f(-x)=f(x)，图像关于x轴对称，奇函数f(-x)=-f(x)，图像关于原点(0,0)对称。
• 函数的周期性，定l表示最小正周期，f(x)为周期函数。周期函数中，对于对于任一点x∈D有(x+l)∈D，恒有f(x+l) = f(x)。

函数运算：f±g: (f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D; f·g: (f·g)(x)=f(x)·g(x),x∈D; f/g: (f/g)(x)=f(x)/g(x),x∈D \ {x|g(x)=0,x∈D}.

2. 命题

    命题一般用p、q表示，简单命题由两条件组成，条件用m、n表示。多个命题用逻辑联结词（呈V型区别于集合符号）连接，联结词由且（p∧q）或（p∨q）非（┐p）。

2.1. 四种命题的相互关系

• 原命题：若m，则n；否命题：若┐m，则┐n；逆命题：若n，则m；逆否命题 若┐n，则┐m。此四种命题存在几种关系：互否命题、互逆命题、互为逆否命题。

命题的真假性。逆否命题的真假性相同，其它的没有关系。若m可以推出 n，“若m则n”为真命题，该真命题中m是n的充分条件，n是m的必要条件，记为“m⇒n”。不能推出则为假命题，记为“m⇏n”。m与n能互推，m等价于n，记为“m⇔n”。

2.2. 真假命题

    只有p、q都为真命题时，p∧q才是真命题；当p或q任一个为真命题时，p∨q才是真命题；若┐m为假命题，则m为真命题。

    命题中下一级多个元素中存在量词，包括全称量词（∀，所有的，任意一个）和存在量词（∃，存在一个，至少有一个）。当全称量词命题或存在量词命题否定时，它的量词也变化成存在与全称量词。

3. 习题

1. 设A=(-,-5)(5,+), B=[-10,3), 写出AB，AB及A\ (A\ B)的表达式。
2. 设映射f：X→Y, A⊂X, B⊂X. 证明: (1)f(A∪B) = f(A)∪f(B); (2)f(A∩B) = f(A)∩f(B)。
3. 求几个函数的自然定义域：y = √(3x+2); y = 1/x-√(1-x²); y = 1/ √(4-x²); y = √(3-x)+arctan(1/x); y = e^1/x。
4. 证明导入单调性的方法有两种：一是定义法。在定义域任取x1、x2，且x1<x2. 因为作差f(x2)-f(x1)=...(因式分解，配方，有理化；合并同类项或分式合并)，进而根据差值>0或<0判断单调性，即定义域D单调递增或单调递减。二是导数法，若导数>0，则单调递增，若导数<0，则单调递减。导数等于零为函数驻点
5. 奇偶性利用f(-x)判断。
6. 复合函数的函数值

不等式与数列

1. 不等式

1.1. 常用不等式

• 三角不等式：对∀a, b∈R, 有|a+b|≤|a|+|b|, ||a|-|b||≤|a-b|.(两边有|a|和|b|，近似记为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)。
• 伯努利不等式：对∀x≥-1, n∈N*, 有(1+x)ⁿ≥1+nx.(幂函数到一次函数的放缩，利用比较n=k+1与n=k和导数法可证)。
• 算数-几何平均不等式：对任n个非负实数x1,x2,x3,...,xn, 有(1/n).(x1+x2+x3+...+xn)≥ⁿ√(x1.x2.x3...xn).尤其是n=2, x1,x2≥0时，(x1+x2)/2≥√(x1.x2)。
• 柯西不等式：设a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn∈R，则有(a1²+a2²+...+an²).(b1²+b2²+...+bn²)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)², 推及2次方至n次方得到通式。

2. 数列

    数列的一般形式可以写成a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>,...,a<sub>n</sub>,a<sub>n+1</sub>,..., (按一定次序排列的一列数), 简记为{a<sub>n</sub>}或{x<sub>n</sub>}。x<sub>n</sub>指数列的第n项。

    等差数列{x<sub>n</sub>}通项公式：x<sub>n</sub>=x<sub>1</sub>+(n-1)d, 前n项和S<sub>n</sub>=n(x<sub>1</sub>+x<sub>n</sub>)/2(或S<sub>n</sub>=nx<sub>1</sub>+n(n-1)d/2)。性质1：p+q=r+s，则x<sub>p</sub>+x<sub>q</sub>=x<sub>r</sub>+x<sub>s</sub>，且等比中项公式x<sub>p</sub>+x<sub>p1</sub>=2x<sub>s</sub>；性质2：数列{a<sub>n</sub>}的连续取出或每隔k项取出组成的子数列仍为等差数列；性质3：对任意的k∈N*，有有Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n…成等差数列。

    等比数列{x<sub>n</sub>}通项公式：x<sub>n</sub>=x<sub>1</sub>.q<sup>n-1</sup>, q≠0, 前n项和中S<sub>n</sub>=nx<sub>1</sub>，q=1; S<sub>n</sub>=nx<sub>1</sub>(1-q<sup>n</sup>)/(1-q)(或S<sub>n</sub>=(x<sub>1</sub>+x<sub>n</sub>.q)/(1-q))。性质1：p+q=r+s，则x<sub>p</sub>.x<sub>q</sub>=x<sub>r</sub>.x<sub>s</sub>，且等比中项公式x<sub>p</sub>.x<sub>p1</sub>=x<sub>s</sub><sup>2</sup>；性质2：数列{a<sub>n</sub>}的连续取出或每隔k项取出组成的子数列仍为等比数列；性质3：对任意的k∈N*，有Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n…成等比数列。

注：等差数列的公差d，Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ，Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ；等比数列的公比q。

平面解析几何

1. 向量

    在数学中，向量有方向和大小，记为$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{A B}$$。其向量对应的模记为|$$\overrightarrow{a}$$|, |$$\`overrightarrow`{A B}$$|。$$\overrightarrow{i}$$为单位向量，$$\overrightarrow{0}$$长度为零且为任意方向的零向量。$$\overrightarrow{a}$$=$$\overrightarrow{b}$$，指两向量相等（方向和大小），$$\overrightarrow{a}$$//$$\overrightarrow{b}$$，此为平行向量或共线向量。由两向量$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{b}$$构成的平面∠ AOB，顶点为O。角度计算，∠ AOB=<$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{b}$$>=θ(0°,180°)，cos<$$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{b}$$>=cosθ=$$\overrightarrow{a}$$.$$\overrightarrow{b}$$/(|$$\overrightarrow{a}$$|.|$$\overrightarrow{b}$$|)。当θ=90°，$$\overrightarrow{a}$$⊥$$\overrightarrow{b}$$；当θ=180°，$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$反向；当θ=0°，$$\overrightarrow{a}$$与$$\overrightarrow{b}$$同向。

1.1. 平面向量线性运算

计算遵循向量可平移性和首尾相接，向量加法符合+=+=和三角形法则，向量减法符合-=+(-)和平行四边形法则，且负向量-即可将原向量反向。

1.2. 向量数乘和内积

    数乘，向量$$\overrightarrow{a}$$（$$\overrightarrow{a}$$≠$$\overrightarrow{0}$$）, $$\overrightarrow{b}$$共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得$$\overrightarrow{b}$$=λ$$\overrightarrow{a}$$。向量内积指$$\overrightarrow{a}$$.$$\overrightarrow{b}$$=|$$\overrightarrow{a}$$|.|$$\overrightarrow{b}$$|.cosθ，|$$\overrightarrow{a}$$|.cosθ称向量投影。零向量与任一向量内积为0。其性质如下：

1. 两向量同向，内积为两模乘积。两向量反向，内积为负两模乘积。

2. 向量非零向量，则.=^2=||²; .=|.|≤||.||。

3. 向量数乘λ结合在内积中无限制，内积服从交换律、分配律但不服从结合律（角度不同）。

    向量坐标计算。任一向量$$\vec{a}$$=λ<sub>1</sub>$$\vec{e}$$<sub>1</sub>+λ<sub>2</sub>$$\vec{e}$$<sub>2</sub>，两不共线向量$$\vec{e}$$<sub>1</sub>，$$\vec{e}$$<sub>2</sub>叫做表示此平面所有向量的一个基。直角坐标系中，$$\vec{a}$$=x$$\vec{i}$$<sub>1</sub>+y$$\vec{j}$$<sub>2</sub>，$$\vec{a}$$=(x, y)。计算如下：
   

4. 两向量相减或相加，各系x与y分别相减或之和得新坐标。

5. 两向量内积，各系x与y分别相乘并相加得到新数；向量模等于根号下x、y各平方和。

6. 向量垂直⇔内积为零⇔各系乘积之和=0，向量共线⇔数乘λ关系⇔x₁y₂-x₂y₁=0。

2. 平面直线方程

    平面直线于x轴正向所得角为倾斜角，α∈(0, Π)。当α=Π/2，直线垂直于x轴，斜率k=tanα不存在；一般斜率计算k=tanα=(y2-y1)/(x1-x2)。

五种直线方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式(无斜率也能表示)
1. y-y1=k(x-x1)；
2. y=kx+b;
3. (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1);
4. x/a+y/b=1(不经过原点);
5. Ax+By+C=0(A、B不同时为0).

    点线计算。

    一是L1，L2位置关系。一般式联立求解，有唯一解则相交于解值，无解则平行。另转化为斜截式，L1//L2⇔k1=k2, 且b1≠b2；L1⊥L2⇔k1.k2=-1，互为负倒数。两直线夹角公式，tanθ=|(k2-k1)/(1+k1k2)|，θ≠Π/2。

    二是距离计算。点点距离，d=√(x2-x1)^2 +(y2-y1)^2；点线距离，已知直线一般式和线外一点(x0, y0)，d=|Ax0+By0+C|/√(A^2 +B^2) ；线线距离：两平行线一般式（A、B化简后可相同）相减的绝对值，d=|C2-C1|/√(A^2 +B^2)。

3. 圆与圆锥曲线

3.1. 圆

圆的三种方程：
1. (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，标准方程圆心C(a,b)；
2. (x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0，直径式方程，已知直径上两点；
3. x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，一般方程(D^2+E^2-4F)>0，该条件=0表示一个点，<0不表示任何图形。半径r=1/2.√(D^2+E^2-4F)。
注：圆的一般二元二次方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，条件(D^2+E^2-4F)>0，A=C≠0，B=0。
    点线圆计算。

    一是点圆关系，常用圆标准方程。点在圆内⇔(x0-a)^2 +(y0-b)^2 <r^2; 点在圆上⇔(x0-a)^2 +(y0-b)^2 =r^2; 点在圆外⇔(x0-a)^2 +(y0-b)^2 >r^2。

    二是线圆关系，常用直线一般式。法1，采用几何判断，圆心点到直线距离计算，d=|Ax0+By0+C|/√(A^2 +B^2 )，若d<r则线圆相交；d=r则线圆相切；d>r则线圆相离。法2，联立两方程的到一元二次方程，有解万能公式x<sub>1,2</sub>=(-b±√Δ)/2a，求判别式Δ=b^2 -4ac，若Δ>0则有解且线圆相交，若Δ=0则有一解且线圆相切，若Δ<0则无解且线圆相离。

3.2. 平面圆锥曲线

    圆锥曲线是指由平面截二次锥面得到的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。平面内，到定点与到定直线l的距离之比等于定值e的集合。0<e<1时轨迹为椭圆，e>1时为双曲线，e=1为抛物线。三种曲线都有离心率e=c/a，椭圆、双曲线和抛物线上的点到定点与到准线的距离相同，仅考虑x轴，椭圆和双曲线准线都在(±a^2 /c, 0)，抛物线准线在轴另一侧的(-p/2, 0)。

3.2.1. 椭圆

    椭圆原理是点到两定点距离之和等于常数|PF1+PF2|=2a，且两定点距离2c。考虑长轴在x轴时，标准方程是x^2 /a^2 +y^2 /b^2 =1，长轴2a，短轴2b，焦点是F(±c, 0)。关系a^2 -b^2 =c^2（椭圆中a最大，双曲c最大），两条准线在椭圆两侧。

3.2.2. 双曲线

    双曲线原理是点到两定点距离之差等于常数|PF1-PF2|=2a，且两定点距离2c。考虑长轴在x轴时，标准方程是x^2 /a^2 -y^2 /b^2 =1，虚轴2a，短轴2b，焦点是F(±c, 0)。关系a^2 +b^2 =c^2 （双曲c最大），两条准线在双曲之间。（在y轴时，标准方程是y^2 /a^2 -x^2 /b^2 =1）

    焦点在x轴，双曲渐近线的虚轴2a对应在y轴上。而焦点在x轴（y轴）渐近线为y=±bx/a(y=±ax/b)。此外，等轴双曲线的实轴长与虚轴长相等，x^2 /a^2 -y^2 /b^2 =1与x^2 /a^2 -y^2 /b^2 =-1互为共轭双曲线（虚轴与实轴互调换）。

3.2.3. 抛物线

    抛物线原理是到一个定点F与一条定直线l的距离相等的点的轨迹（F∉l）。考虑焦点在x轴时，标准方程是y^2 =2px，开口x轴正向向右，焦点(p/2, 0)，准线x=-p/2位于x轴负向。p为焦点到准线的距离。

注：代数法判断直线与圆锥曲线C的关系，即联立两方程。先消去y（或x）得到ax^2 +bx +c=0。（1）当a=0时，且解方程有解，则相交于一点。如C为双曲则直线与双曲渐近线平行，如C为抛物线则直线与抛物对称轴平行；（2）当a≠0时，解方程判别Δ，若Δ>0则有两个解（即交点），Δ=0则有唯一解，Δ<0则无解（即不相交）。此时的一个交点包含相交与相切。

3.2. 极坐标

    自极点O以x正轴为起始，已知对应点M对应终边OM，以角xOM为极角，则有序数对(ρ, θ)。极坐标与直角坐标的互换方程如下：

计数与二项式

1. 计数法

1.1. 基本计数原理

    分类加法计数。假设有n类办法做一件事，而第I类办法有m1个方法，II类有m2个法，……，n类有mn个法。则完成此事共有N1 = m1+m2+...+mn种不同方法。

    分步乘法计数。假设做一件事需要n个步骤，且第I个步骤有m1个方法，第II步有m2个法，……，第n步有mn个法。则此事共有N2 = m1×m2×...×mn种不同方法才能完成。

    **排列**，指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定顺序排好。排列相同进具备元素和顺序相同（分布乘法计数）。排列数A<sub>n</sub><sup>m</sup> = n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-m+1)，n, m∈N<sup>*</sup> , m≤n。全排列，即m=n，A<sub>n</sub><sup>m</sup> = n×(n-1)×(n-2)×...×(n-(n-1)+)×(n-n+1) = n×(n-1)×...×3×2×1 = n!。

    **组合**，指从n个不同元素中取出m个元素的所有组合。一般n个元素任取m个元素的排列，可以分两步：（1）先完成任取m个元素的排列，C<sub>n</sub><sup>m</sup> ；（2）后对此m个元素全排列，A<sub>m</sub><sup>m</sup>  。据分布乘法可得A<sub>n</sub><sup>m</sup> =  C<sub>n</sub><sup>m</sup> .A<sub>m</sub><sup>m</sup>  。

1.2. 排列组合计算

A_n^m = n!/ (n-m)! A_n^m (n-m) = n. A_n-1^m A_n^m = n. A_n-1^m-1

A_n⁰ = 1 (n+1). A_nⁿ = A_n+1ⁿ⁺¹ (或n. A_nⁿ = A_n+1ⁿ⁺¹ - A_nⁿ )

A_n^m = C_n^m .A_m^m

C_n^m = A_n^m / A_m^m = n!/ (m!(n-m)!) C_n^m = C_n^m-1 （用于简化计算） C_n⁰ = 1

C_n⁰ + C_n¹ + C_n² + ... + C_nⁿ = 2ⁿ C_n⁰ + C_n² + C_n⁴ + ... = C_n¹ + C_n³ + C_n⁵ + ... = 2^n-1

C_m^m + C_m+1^m + C_m+2^m + ... + C_m+n^m = C_m+n+1^m+1

(n+1)/(k+1)C_n^k = C_n+1^k+1 (由小推大)

注：二项式定理(a+b)ⁿ 证明2ⁿ 。

(a+b)³= a³+3a²b+3ab² +b³ = C₃⁰ a³b⁰ +C₃¹ a²b+C₃² ab² +C₃³ a⁰ b³ ;
(a+b)ⁿ 展开式的项 为：(a+b)ⁿ = C_n⁰ aⁿ b⁰ + C_n¹ a^n-1b + C_n² a^n-2 b² + ... + C_n^n-1 a¹b^n-1 + C_nⁿ a⁰bⁿ;

得证，2ⁿ = (1+1)ⁿ = (C_n⁰ + C_n¹ + C_n² + ... + C_nⁿ )1.

2. 二项式

    T<sub>k+1</sub> = C<sub>n</sub><sup>k</sup> a<sup>n-k</sup>b<sup>k</sup> 为二项式通项。二项式有一般有n+1项，二项式系数依次为组合数C<sub>n</sub><sup>0</sup> , C<sub>n</sub><sup>1</sup> , C<sub>n</sub><sup>2</sup> , ... , C<sub>n</sub><sup>n</sup> ，各项次数和为n，展开式以a的降幂，b的升幂展开。

    二项式具有三个特点：（1）对称性。对称位置的系数相等，即C<sub>n</sub><sup>m</sup> = C<sub>n</sub><sup>n-m</sup> 。（2）增减性。当k≤(n+1)/2时，二项式系数C<sub>n</sub><sup>k</sup> 的值逐渐增大；当k≥(n+1)/2时，二项式系数C<sub>n</sub><sup>k</sup> 的值逐渐减小。n为偶数时，中间项（第n/2+1项）系数最大；n为奇数时，中间项（第(n+1)/2和(n+1)/2+1项）系数最大。（3）对于(a+b)<sup>n</sup> 二项式系数和为2<sup>n</sup> ，二项式奇数项系数和与此偶数项系数和都等于2<sup>n-1</sup> 。