15.1波动率微笑定义

波动率微笑是期权隐含波动率与行权价格之间的关系。

即：具有相同到期日和标的资产而执行价格不同的期权，其行权价格偏离表的资产现货价格越远，其implied volatility越大。

基于Put-Call Parity，p+Se^(-qT)=c+Xe^(-rT)，可以得出（BS-mkt）

利用BSM模型计算的看跌期权理论价格和看跌期权的市场价格的差额，和利用BSM模型计算的看涨期权理论价格和看涨期权的市场价格的差额是一样的。针对欧式期权。通过BSM模型求看涨和看跌期权价格时，用的是历史波动率，其他变量一致的前提下，可以得出，看涨期权和看跌期权蕴含的隐含波动率是一样的。

15.2外汇期权的波动率微笑

外汇期权的隐含波动率呈现是一个微笑的图形，也就是一个开口向上的抛物线，ATM是抛物线的最低点，ATM左侧是ITM的看涨和OTM的看跌，右侧是OTM的看涨和ITM的看跌。

*当市场出现极度上涨或者极度下跌时，市场出现动荡，对应的波动率比较高。只有在ATM时，即市场均衡定价时，此时波动率会小一点。其他情况下，市场反应出的波动率都会比较大。

*另一种解释是找出汇率的隐含分布与假设汇率服从的分布--对数正态分布。

可以看出，隐含分布比对数正态分布更具有肥尾的特征。

为什么汇率不服从lognormal？资产价格服从lognormal需要具备两个条件：

1、标的资产的波动率constant

2、标的资产价格变化平稳，且没有跳跃

事实上汇率上述两条均不具备，汇率市场风险较大，遇到极端事件经常出现jumps。

15.3 股票期权的波动率微笑

也称为波动率倾斜（volatility skew）

股票期权波动率微笑相较于lognormal呈现左肥右瘦的特征。

值得一提的是，上述肥尾的含义是：greater implied volatilities for high strike prices

股票期权波动率微笑存在的原因：

1、杠杆率：随着公司股票价格下降--杠杆率上升--公司风险更大，波动率也会更大

2、崩盘恐惧：1987股票市场崩盘--high premiums for put prices when the strike prices lower.

波动率微笑有时也会被定义为implied volatility和K/S0之间的关系，或者implied volatility和K/F0之间的关系（F0是与所考虑的期权同时到期的资产远期价格），或者implied volatility与期权的delta之间的关系。

15.4波动率期限结构和波动率曲面

实务中，期权的期限变长时，波动率微笑不明显，通常输出的也是波动率曲面，而非二维的微笑。

15.5 波动率皱眉

股票价格出现jump时，股票期权的波动率微笑呈现波动率皱眉。

15.6期权价格敏感度Option Greeks

这里主要对应的是一级第4门？的内容，delta vega等等

minimum variance delta 是implied volatility curve中的delta，注意BSM模型里的delta是大于它的。