究中点四边形  悟凸凹四边形的统一性——例谈思维力在专题研究中的提撕之二

学生们都知道，四边形是由四条线段首尾依次连接而围成的封闭图形。在四边形四条边上各取中点，将四个中点依次连接，围成的新的四边形，我们可以称之为中点四边形。

探究四边形的中点四边形，一般从正方形开始的。学生通过操作可以发现正方形的中点四边形仍然是正方形。只是方向发生偏转，并且面积是原来正方形面积的一半。

接着便可探究长方形的中点四边形。通过操作可以发现长方形的中点四边形是菱形。菱形再内接中点四边形又是长方形。每次中点四边形是上级四边形面积的一半。

平行四边形内接中点四边形是是一个新的平行四边形。并且面积也是原平行四边形面积的一半。新平行四边形再内接中点四边形仍然是平行四边形，面积是上级平行四边形的1/2，是最上阶平行四边形面积的1/4。方向与最上阶平行四边形一致。

等腰梯形的内接中点四边形是菱形。普通梯形的内接中点四边形是平行四边形。

至此，我们可以发现，无论是正方形、长方形、菱形、平行四边形、梯形中点四边形都是平行四边形。当然学生也知道正方形、长方形和菱形都是特殊的平行四边形。正因为正方形、长方形、菱形是特殊的平行四边形，于是更有益于学生观察、想象，更能够体会从特殊到一般的逻辑推理思维与思考辨析途径。

在学生确认平行四边形和梯形的内接中点四边形一定是平行四边形基础上，引导学生发问，提出问题：普通四边形内接中点四边形是一个什么样的图形呢？通过动手操作、探究，进一步体验探寻新的发现。

通过作图实践、认真观察，可以发现任意四边形的内接中点四边形都是平行四边形。那么如何让学生理解中点四边形一定就是平行四边形呢。

在此处引入三角形中位线的理解。在三角形的两条边上各取中点，相连得到的一条线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线具有什么性质呢？我们可以通过利用添加了一条中位线的两个完全一样的三角形，其中一个倒置组合成一个平行四边形。通过观察不难发现，两个拼接在一起的三角形的两条中位线刚好在同一条直线上。并且与上下底边互相平行且相等。于是我们从感观上就可以获得认识，三角形的中位线平行于底边并且等于底边的一半。

在确认三角形的中位线平行并等于底边的一半之后。回到普通四边形内接中点四边形图形当中，此时我们添加一条原四边形的对角线。然后隐去下半部分，观察上半部分我们可以发现：上半部分三角形当中两边中点的连线，其实就是三角形的中位线。所以这条中位线，它会与刚刚添加的原四边形的对角线平行，并且等于这条对角线的一半。同理，隐去上半部分只观察下半部分剩下的三角形。同样可以发现下面也是一个三角形。三角形的中位线也会等于对角线的一半，并且与之平行。这样一来，把上下放在一起就可以轻而易举地发现，上面一条中位线和下面一条中位线，它们是互相平行的，并且也是相等的。而这两条中位线就是原四边形内接中点四边形的上下两条边。同理可得，内接中点四边形左右两条边也是互相平行并且相等的。这样我们就可以确认中点四边形是一个平行四边形了。

平行四边形、梯形、任意四边形，它们的内接四边形都是平行四边形。从这个角度来说，平行四边形就是四边形的一种归属。这时我们可以引导孩子进一步向下走。像这种平行四边形、梯形、任意四边形，我们称之为凸四边形。

凸四边形就是没有角度数大于180° 的四边形，把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。

凸四边形内接中点四边形是平行四边形，那么与之对应的凹四边形会怎么样呢？

于是出示凹四边形，并让学生进行操作，找出四条边的中点，把四个中点连接得到新的四边形。同学们可以发现在这个新的四边形当中，其中有一条边在原四边形的外侧。新的四边形看上去似乎也是平行四边形。那么到底是不是平行四边形呢？答案是肯定的，那么如何引导孩子来进行思考与逻辑证明呢。

我们可以观察发现凹四边形，其中有两条边是凹进去的。正是因为如此，所以中点四边形有一条线露在原四边形的外侧。这时我们引导孩子将向里凹的两条线段的两侧端点进行连接。便可以发现有两个三角形是内外嵌套的。在这两个内外嵌套的三角形当中，他们拥有一条共同的底边即刚刚连接所得到的线段。而这两个三角形的中位线，就是我们内接中点四边形的一组对边。在前面的三角形中位线知识的基础上。可以明白这一组对边是平行也是相等的。

另外，我们将原四边形的另外两个顶点连接，得到另一条对角线的话，同样也可以得出另外一组对边也是平行且相等的。

至此，凸四边形与凹四边形任何一个四边形，它们的中点四边形都是平行四边形。

那么一个任意四边形内接中点四边形的面积是原四边形面积的多少呢？

平行四边形的内接中点四边形面积是原平行四边形面积的一半。证明很简单，只需要将四个中点对点连接，就可以得到八块小三角形，在八块小三角形当中，两两全等。即可证得中点四边形面积是原平行四边形面积的一半。

对于普通四边形的中点四边形面积是原四边形面积的一半，如何进行证明呢？

可以通过连接一组对点作出原四边形的一条对角线。这样，原四边形变被为分为两个三角形，同时中点四边形也被分成了两个平行四边形。此时可以探究，其中一个三角形，与其内部平行四边形的面积关系。通过观察推理可以发现。平行四边形的底就是三角形的中位线，是三角形的底的一半，平行四边形的高是三角形的高的一半。通过平行四边形与三角形面积公式可得，平行四边形是三角形面积的一半。同理可得，另一侧也是如此。最后可以得到中点四边形面积是原四边形面积的一半。

对于凹四边形原理也是一样。内接中点四边形的面积仍然是原四边形面积的一半。方法依然是作对角线，通过中位线的性质可证三角形与内置平行四边形的面积关系。最后可得中点四边形是原四边形面积的一半。

最值得耐人寻味的是任意凸凹四边形的内接中点四边形都是平行四边形，并且是面积是原四边形的一半。也许平行四边形是美丽的四边形吧，为何具有如此强悍的统一性与归属感？

事实上，在数学世界里，表面看似纷繁复杂的数学想象，往往具有内在的统一性与归属性。这需要学生具有强烈的探求精神，热切的探求兴趣，正确的探求方法，严密的探求思维，震撼的生命体验，数学将会成为一科最为怡情的学问。