从一个数列谈起
在GEB上看到的，问题很简单，对下面的数列进行形式化的定义
1,3,7,12,19,26,35,45,56,...
当然，对于任意数列的前n项，我们都可以构造一个n-1阶的多项式来拟合，但是这不是我想要说的。其实拿到这个数列花了不到一分钟就找出规律了，考虑相邻两项的差：
2,4,5,6,8,9,10,11,13
刚好是数列在正整数中的补集，现在的问题是对它进行定义。一条显然的生成规则为
（设这个数列的形式化系统为A)
- ①：A中的每个数的后一项是它加上未在A中出现的一个数
当然这条规则是必要而不充分的，但至少进入到了本文的主题——递归定义。先来考虑完善下规则，这里补上这个形式系统的公理：1。对于公理1，应用规则①，它的后一个是1加上未在A中出现的一个数，可以是2，当然也可以是3,4,5，这些都满足规则①的限定条件，可以分别得到定理(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)。这条规则没有限定后一项是唯一的，在选择加数的时候没有做限定，补上：
- ②：A中的每个数的后一项是它加上正整数集中未在A中出现的最小的一个数
这条规则虽然能够用语言表达我们要表达的，但是还是问题多多。
