2019-05-10

  • 特征值（向量）的求法
  • 特征值的求法：|\lambda E-A| = 0
  • 特征向量的求法：(\lambda E-A)x = 0，有非零解\xi
  • \lambda E-A = \begin{pmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn}\\ \end{pmatrix}
  • 特征矩阵
  • \begin{vmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1}& -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn}\\ \end{vmatrix} = f(\lambda)特征多项式
  • 特征值的性质
  • 性质1 A与A^T有相同的特征值
  • 性质2 设n 阶矩阵A的特征值为\lambda_1,...,\lambda_n，则
    • \lambda_1+...+\lambda_n = tr(A)
    • \lambda_1...\lambda_n = |A|
  • 推论：A可逆\iffA的特征值\neq0
  • 性质3A\sim B \implies |\lambda E-A| = |\lambda E-B|，反之不成立。
  • 根据代数基本定理：f(\lambda) = \lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+...+b_n复系数多项式,有n个根。
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