导热微分方程一般形式推导及变形

1.根据热力学第一定律，封闭系统的能量守恒(这里的大Q单位为焦耳，热流密度的小q单位为瓦特每单位面积)

Q=\Delta U+W\text{（机械功）}

2.假设微元体无体积变化且不对外做工,则

W=0
Q=\Delta U\text{(热流量引起内能的增加)}

3.导热沿着正方向dx,dy,dz>0的方向

以x轴为例，流过单位截面积的dQ（焦耳）的函数表达式如下：

热流密度×面积(dydz)×单位时间

dQ=q_x\cdot dydz\cdot d\tau \tag{1}

其中热流密度的q单位为W/m^2，热力学的单位是J

所以W/m^2 \cdot m^2 \cdot s=J
那么x+dx界面上的热量dQ_{x+dx}=q_{x+dx}\cdot dy\cdot dz \cdot d\tau \text{(J )} \tag{2}

4.能量核算，(1)进入-(2)出去=导热的净热量(3)

dQ_x-dQ_{x+dx}=q_x \cdot dydz\cdot d\tau-q_{x+dx}\cdot dydz\cdot d\tau =(q_x-q_{x+dx})\cdot dydz\cdot d\tau\tag{3}

热流密度q的增量按泰勒级数第一项，并且带入热流密度q的函数原型——傅里叶定律

q_{x+dx}=q_x+\frac{\partial q_x} {\partial x}\cdot dx
\begin{cases} q_x\cdot dy\cdot dz=-\lambda\frac{\partial t}{\partial x}\cdot dy\cdot dz \\ \therefore q_x=-\lambda\frac{\partial t}{\partial x}\\ \therefore \frac{\partial q_x} {\partial x}=-\frac{\partial}{\partial x}(\lambda\frac{\partial t}{\partial x})\\ \therefore q_x-q_{x+dx}=-\frac{\partial q_x} {\partial x}\cdot dx=-(-\frac{\partial}{\partial x}(\lambda\frac{\partial t}{\partial x}))\cdot dx \end{cases} \tag{4}
把推导过程(4)最后一个q_x-q_{x+dx}的结果带入(3)中的括号得到如下结果
\begin{cases} dQ_x-dQ_{x+dx}=-\frac{\partial q_x} {\partial x}\cdot dx \cdot dy \cdot dz \cdot d\tau=\frac{\partial}{\partial x}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial x})\cdot dx \cdot dy \cdot dz \cdot d\tau\\ dQ_y-dQ_{y+dy}=-\frac{\partial q_y} {\partial y}\cdot dy \cdot dx \cdot dz \cdot d\tau=\frac{\partial}{\partial y}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial y})\cdot dy \cdot dx \cdot dz \cdot d\tau\\ dQ_z-dQ_{z+dz}=-\frac{\partial q_z} {\partial z}\cdot dz \cdot dx \cdot dy \cdot d\tau=\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial z})\cdot dz \cdot dx \cdot dy \cdot d\tau\\ \end{cases} \tag{5}

5.不失一般性，比如电流发热，加上微元体内热源发热量，人为定义为热为单位体积的发热功率，因此内热源发热量：q_v\cdot d_xd_yd_z\cdot d_\tau \tag{6}

6.导热的净热量(5)+发热量(6)=系统热力学能增量\Delta U，=质量×比热×温差，其中单位时间的温差为\frac{\partial t}{\partial \tau} \cdot d_\tau，整个守恒方程的右边为：

\rho c_p\frac{\partial t}{\partial \tau} \cdot d_xd_yd_zd_\tau \tag{7}

根据热力学能量守恒定律 (5)+(6)=(7)，并注意到(5)，(6)，(7)中都有d_xd_yd_z\cdot d_\tau，约去这四个微分元项d_xd_yd_z\cdot d_\tau

我们得到导热微分方程式为

\rho c_p\frac{\partial t}{\partial \tau}=\frac{\partial}{\partial x}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial x})+\frac{\partial}{\partial y}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial y})+\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \cdot \frac{\partial t}{\partial z})+q_v\tag{8}

公式(8)为导热微分方程的一般形式，如果物性c_p,\rho,\lambda为常数，并引入新物理量热扩散率a=\frac{\lambda}{\rho c_p}，单位为[m^2/s]，公式(8)除以\rho c_p

\frac{\partial t}{\partial \tau}=a(\frac{\partial^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2t}{\partial y^2}+\frac{\partial^2t}{\partial z^2})+\frac{q_v}{\rho c_p} \tag{9}

其中，(9)中的二阶偏微分可以简写为laplace算子

(9)进一步简化为：

\frac{\partial t}{\partial \tau}=a\nabla^2t+\frac{q_v}{\rho c_p} \tag{10}

热扩散率a反应了导热过程中材料的导热能力\lambda与沿途物质储热能力\rho c_p的关系，代表这温度区域一致的能力（速度多快，单位和加速度相同）

如果a大，\lambda大，\rho c_p小，说明储热能力差，给一个温度冲击迅速扩散

对于木头来说，a_木=1.5×10^{-7}m^2/s，对于铅块来说a_铅=9.45×10^{-5}m^2/s，两者相差了600倍，所以热扩散率是反应导热过程动态特性，在稳态导热中实际是用不到的。

在常物性的前提下，如果增加 没有内热源的情况，进一步简化

\frac{\partial t}{\partial \tau}=a\nabla^2t \tag{11}

如果为稳态导热，温度t不随时间\tau变化，也就是\frac{\partial t}{\partial \tau}=0

稳态常物性无内热源导热微分方程

\nabla^2t=0 \tag{12}

一维情况下，没有y，z方向，偏微分方程退化为常微分

\frac{d^2t}{dx^2}=0 \tag{13}

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