【前言】在很多计数问题中，常常要把所有计数的对象分成若干个不重复又不遗漏的类型，使得每类便于计数。但是实际的问题却往往较为复杂，而且容易混为一团，难以区分，而要准确无误的计算事物的个数，就得运用容斥原理，这类问题往往被称为重叠问题，也叫包含与排除问题。徐长青老师对能力的理解是：能用学过的知识，成功地解决陌生的问题。在课程中，与孩子们一起对重叠问题进行了探究和进一步拓展。并建构起数学与语文关联词“既……又……”的关系，还进一步利用手势反复建立和沟通已有认知和未知的联系，从而将头脑中已有的模糊感知转化成数学中的图形表达。做到了，会看，会说，会表达。
一、故事引入
1）故事导入
理发店来了客人，客人说：“叔叔，我和爸爸要剃头”，又来了客人，说：“师傅，给我和我父亲剃个头”。这时，理发店抬起头一看，很纳闷。
师：“你们猜猜理发师为什么纳闷呢？”
生：“因为两句话里本来应该有4个人，可是他看到的却只有三个人。”
2）初步感知重复问题
师：“那是哪三个人呢？”
生：“一个儿子和他的爸爸，还有一个是爷爷”
（引入手势嚓嚓嚓）
顺势问：“4个手指，怎么变成3个手指？”
生：“把两个手指叠在一起。”“为什么？”
生：“爸爸是儿子的爸爸，爸爸是爷爷的儿子。这样就只有三个人了”
引出关联词“既……又……”
（重复手势 嚓嚓嚓，将语文关联词与肢体语言结合起来）
二、游戏
1）抢椅子游戏
找两把椅子，再喊2个孩子上来。
师：“人都到了，为什么还有人举手？
生：“人和椅子一样多，一一对应，因此无法淘汰，需要加人。”
又有请4人。
生：“人太多了，只要3个人”。
师：“那现在怎么办？”
生：“减人”。
2）请后来上来的4名同学进行石头剪刀布（公平游戏），1人闯关晋级，淘汰3人。
三、深度体验
1）说明游戏规则
顺时针跑，听到停就抢板凳坐下，不坐腿，后坐下的淘汰。两轮游戏后，剩一名女生晋级冠军。
2）采访冠军
贯穿德育，引导女生感谢所有参与游戏的同伴，才有冠军的诞生。
3）请参与游戏的孩子们领荣誉
师：“站起来6个人，怎么少人了？面对荣誉不要推让。”
生：“猜拳的和抢椅子的都到了，裁判扮演了两个角色，所以看起来好像少了，但是所有人都到了。”
师：“那我们来算一算，猜拳的几个人？抢椅子的几个人？”
生：“4+3”
师：“等于7！还差一个人，请站起来。”
生：“6个人！”
师：“7个人！”
（通过师生对抗，引起认知冲突，体验新知）
4）呼啦圈套人
用一个呼啦圈代表抢椅子的3个人，一个呼啦圈代表猜拳的4个人，请孩子们入圈。
师：“还有一个人呢？"
（此时有个孩子不知所措，不知道该站哪边。）
师：“用事实说话，如果能让一个圈里有3个人，一个圈里有4个人，你们就赢了。”
（老师退场，越走越远。使孩子们减少对老师的依赖心理，自己想解决方案。学生茫然，经过一阵对峙，孩子们想到将两个呼啦圈组合到一起。然后让学生分别数数现在两个圈里的人数，已然满足3人和4人。，但是总共才6人。）
师：“我今天终于承认4+3=6”。
生：“不对！***既参加猜拳，又参加抢椅子，两个圈里都有他，其实是有2个他，但是我们只要一个他，所以要减去1。4+3-1=6”。
师：“那减去的1是谁？”
生：“***”
师：“那***先走得远一些，我们再数一数。出事了！减了1变成5了，看来减的1不是他，那减的1是谁呢？”
生：“我们先把两个他都算进去，再减去第一个多余的他，留下一个角色还给他。”
师：“如果他玩了3个游戏，要减去几个他？8个游戏？100个游戏呢？”
生：“2个，7个，99个”。
师：“也就是说，要留下一个角色给他，使得一一对应。这就是数学中的两环”。
（重复手势 嚓嚓嚓）
5）画图
师：“图应该怎么画？”
生：“要有一部分重叠”。
（此时学生在手势的结合下，已经能感知出不重复、完全重复和不完全重复的画法。）
师：“那这就是既……又……”。
6）贴名字条
抢椅子的3人贴完之后，师整理名字条，学生大呼“不要”。
（建立孩子们头脑中关于“既……又……”的关系图模型）
再请猜拳的4人上来贴名字条，那个“既……又……”的同学又贴了一次，紧接着他又拿走了自己名字条。
师：“为什么这个同学又拿走了自己的名字条？”
生：“因为第一次他已经贴过了，那个位置就是他的了，就不用再多贴一次了。”
师：“现在请***挑战一下，把你的两张名条都贴上。”
学生们纷纷出主意，让他把名条重叠在一起贴，有的用语言，有的用肢体示范，特别着急。
（现在孩子们对这样重复的量已经有更深层次的感觉了）
师：“所以在玩游戏时，需要一分为二，计算人数时，要合二为一。因为我们班只有一个***，应该减去他多余的角色，回到一一对应。”
（重复手势 嚓嚓嚓）
四、问题解决，运用新知
出示例题：三年级一班有女生19人，男生17人，全班多少人？
生：“19+17=36（人）”
师：“今天学的是重复，都要减去，你们怎么不减呢？”
生：“因为女生和男生是不一样的，不是同一类人，没有重复，所以男生加女生就是全部的人。”
师：“所以学过的不能用来解决所有的问题，数学要注意运用的环境、条件、规则。”
（教孩子们活用知识，而不是生硬地套用思维定势去解决问题。）
五、回归情景，拓展新知
小调查：爸爸抽烟、喝酒的情况（重复手势 嚓嚓嚓）
既吸烟又喝酒的孩子站起来。只吸烟不喝酒的孩子起立。只喝酒不吸烟的孩子站起来。
师：“13+17=30，是我们全部的同学吗？还有谁没站起来？”
生：“因为我爸爸既不抽烟，也不喝酒。”
师：“那这样的爸爸往哪儿放呢？”
生：“在外面加个长方形，把好爸爸放在韦恩图外面，长方形里面。”
师：“我们希望圈里的爸爸早点跳出来，做个好爸爸。”
（拓展了孩子们对集合的初步感知，为以后更高段的学习做些铺垫）
本节课的收获：
1）本节课学习了基本的重叠问题时，延伸了些关于集合方面的知识，实际上在初中的学习中也有很多与重复有关的知识，比如线段，角的重叠问题，在三角形全等的证明，求重复部分的面积，镶嵌等问题，都要遵循不重不漏的原则。因此本节课的内容对之后很多内容的学习都起到了举足轻重的作用。
2）为了让孩子们能顿悟重复的量，并且学会如何处理重复的量，徐老师设计的每一个环节层层递进，在游戏化学习中，让孩子们亲身体验，让孩子们在老师的追问中不断地反驳，构建自己的认知，由自己寻求答案，成功地掌握方法，并自行解决问题。在一个又一个游戏，一个又一个冲突的引领下，孩子们乐在其中，又在不知不觉中留下深刻印象。这样诙谐幽默，又贯穿着德育的课堂，都是我们也可以学着渗透进自己的教学中的精华。
